如果函数 x = f ( y ) x = f(y) x=f(y)在区间 I y I_y Iy​内单调、可导且 f ′ ( y ) ≠ 0 f'(y) \neq 0 f′(y)̸​=0，那么它的反函数 y = f − 1 ( x ) y = f^{-1}(x) y=f−1(x)在区间 I x = { x ∣ x = f ( y ) ， y ∈ I y } I_x = \{x | x = f(y)，y \in I_y\} Ix​={x∣x=f(y)，y∈Iy​}内也可导，且 [ f − 1 ( x ) ] ′ = 1 f ′ ( y ) 或 d y d x = 1 d x d y [f^{-1}(x)]' = \frac{1}{f'(y)} 或 \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} [f−1(x)]′=f′(y)1​或dxdy​=dydx​1​ 这个结论可以简单表达为：反函数的导数等于直接函数导数的倒数。

例： 设 x = sin ⁡ y ， y ∈ ( − π 2 , π 2 ) x = \sin y，y \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) x=siny，y∈(−2π​,2π​)为直接导数，则 y = arcsin ⁡ x y = \arcsin x y=arcsinx是它的反函数，求反函数的导数. 解：函数 x = sin ⁡ y x = \sin y x=siny在区间内单调可导， f ′ ( y ) = cos ⁡ y ≠ 0 f'(y) = \cos y \neq 0 f′(y)=cosy̸​=0 因此，由公式得 ( arcsin ⁡ x ) ′ = 1 ( sin ⁡ y ) ′ (\arcsin x)' = \frac{1}{(\sin y)'} (arcsinx)′=(siny)′1​ = 1 cos ⁡ y = 1 1 − sin ⁡ 2 y = 1 1 − x 2 = \frac{1}{\cos y} = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 y}} = \frac{1}{\sqrt{1- x^2}} =cosy1​=1−sin2y ​1​=1−x2 ​1​

如果在求解过程中遇到不好直接求出的三角函数，可以使用画三角形法求解