反函数反过来做！

先看一个例子：

我们将函数 f(x) = 2x+3 写成流程图：

反函数就是把流程反过来：

所以： 2x+3 的反函数是： (y-3)/2

反函数通常是在函数名字后面加一个上标 "-1"：

f-1(y)

我们说 "f y 的反函数"

所以 f(x) = 2x+3 的反函数是这样写：

f-1(y) = (y-3)/2

（我用 y，而不用 x，因为它们代表不同的值。）

反函数把函数还原：

如果函数 f 把苹果变成香蕉， 反函数 f-1 把香蕉还原为苹果

用上面的公式，开始时 x=4:

f(4) = 2×4+3 = 11

然后把 11 代入反函数的公式里：

f-1(11) = (11-3)/2 = 4

得回原来的 4！

我们可以写成一行：

f-1( f(4) ) = 4

"f 反函数 的 f 的 4 等于 4"

所以把一个数值代入一个函数 f，然后把结果代入其反函数 f-1，就会得到原来的数值：

f-1( f(x) ) = x

把函数的次序倒转也是一样：

f( f-1(x) ) = x

开始：

f-1(11) = (11-3)/2 = 4

然后：

f(4) = 2×4+3 = 11

所以：

f( f-1(11) ) = 11

"f 的  f 反函数的 11 等于 11"

我们可以用代数来求反函数。用 "y" 代替 "f(x)"，然后解 x：

这是计算比较复杂的反函数的好方法。

一个好例子是华氏与摄氏相互转换：

轮到你了：解反函数！

上面的例子都很简单，因为我们都知道乘法的相反是除法，加法的相反是减法，但其他函数呢？

这是一个列表：

（注意：去阅读反正弦、余弦和正切了解更多。）

留意 "小心！" 列，因为有些反函数只适用于某些数值。

取负数的平方，然后取反函数：

但我们得不到原来的数！结果是 2而不是 -2。我们不小心了！

平方函数（在现在情况下）没有反函数

限制定义域（函数的输入）。

不用负数作为输入。

就是说，把定义域限制为 x ≥ 0 就可以有反函数了。

所以：

我们来看这个图：

要有反函数，函数的值必然需要是唯一值。

如果一个 y值有两个或更多 x值，还原时应该选哪个呢？

"每个 x值的 y值是唯一的" 这个概念有个名字，叫 "单射"，也称 "一对一"：

如果一个函数是"一对一"（单射）的，它就有反函数。

我们为什么要 "限制定义域"？

简单地说，定义域是所有输入函数的值（值域的所有输出值）。

在现在情况下，上面的函数没有反函数，因为有些 y值有多于一个 x值。

注意：

…… 我们也可以……

我们可以把函数和反函数都写成 x 的函数 …… 反函数就写成 f-1(x)，而不是 f-1(y)：

f(x) 和 f-1(x) 像彼此的镜像 （相对于对角线反转）。

换句话说：

f(x) 和 f-1(x) 的图是相对于直线 y=x 对称的

我们首先把定义域限制为 x ≥ 0：

可以看到它们是彼此的"镜像"， 相对于对角线 y=x.

注意：把定义域限制为 x ≤ 0（小于或等于 0），反函数就是 f-1(x) = −√x：

也是反函数.

有时不可能解反函数。

例子：f(x) = x/2 + sin(x)

我们不能解反函数，因为我们不能解 "x"：

y = x/2 + sin(x)

y …… ？ = x

我们这样写 f-1(x)，但上标 "-1" 不是个指数（次方）: