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1．单叶双曲面

定义1  在直角坐标系下，由方程

                        (4.5-1)

所表示的曲面叫做单叶双曲面，方程(4.5-1)叫做单叶双曲面的标准方程，其中是任意的正常数。

显然，单叶双曲面(4.5-1)与椭球面(4.4-1)一样，它关于三坐标平面，三坐标轴以及坐标原点都对称。

双曲面(4.5-1)与轴不相交，与轴与轴分别交于点与，这四点叫做单叶双曲面的顶点。

如果用三个坐标平面分别截割曲面(4.5-1)，那么所得的截线顺次为

                      (1)

                      (2)

                      (3)

（1）为面上的椭圆，叫做单叶双曲面的腰椭圆；（2）与（3）分别为面与面上的双曲线，这两条曲线有着共同的虚轴与虚轴长（图4-10）。

当我们用一组平行平面（可为任意实数）来截割单叶双曲面(4.5-1)，便得到椭圆

                       (4)

它的两半轴分别是与，两轴的端点分别为与，容易知道这两对端点分别在双曲线（2）与（3）上，这样单叶双曲面可以看成是由一个椭圆变动（大小位置都改变）而产生的，这个椭圆在变动中保持所在的平面与面平行，且两对顶点分别沿着两个定双曲线（2）与（3）滑动。

图4-10是单叶双曲面(4.5-1)的图形。

如果用平行于的平面来截割单叶双曲面(4.5-1)，那么截线的方程为：

            (5)

当时，截线（5）为双曲线，它的实轴平行于轴，实半轴长为，虚轴平行于轴，虚半轴长为，且双曲线（5）的顶点在腰椭圆（1）上（图4-11）。

当时，截线（5）仍为双曲线，但它的实轴平行于轴，实半轴长为，虚轴平行于轴，虚半轴长为，而且它的顶点在双曲线(3)上（图4-12）。

当时，（5）变成

  或 

这是两条直线

  或 

如果，那么两条直线交于点（图4-13），如果，那么两条直线交于。

如果用平行于的平面来截割单叶双曲面(4.5-1)，那么它与用平行于的平面来截割所得结果完全相类似。

在方程(4.5-1)中，如果，那么它就成为单叶旋转双曲面(4.3-3)。

方程与所表示的图形，也都是单叶双曲面。

2双叶双曲面

定义2  在直角坐标系下，由方程

          (4.5-2)

所表示的图形，叫做双叶双曲面，方程(4.5-2)叫做双叶双曲面的标准方程，其中是任意的正常数。

因为双叶双曲面的方程(4.5-2)仅含坐标的平方项，因此这个曲面关于三坐标平面，三坐标轴以及坐标原点都对称，而且曲面与轴轴都不相交，只与轴相交于两点，这两点叫做双叶双曲面(4.5-2)的顶点。

从方程(4.5-2)容易知道，曲面上的点恒有，因此曲面分成两叶与。

坐标平面与曲面(4.5-2)不相交，而其它两个坐标平面与分别交曲面于两条双曲线（图4-14）。

                     (6)

与

                     (7)

如果用一组平行于的两平行平面来截割曲面(4.5-2)，我们得截线方程为

                  (8)

当时，截得的图形为一点，当时，截线为椭圆，它的两半轴为

  与 

这时椭圆（8）的两轴的端点

                     与 

分别在双曲线（6）与（7）上。因此，双叶双曲面可以看成是由一个椭圆变动（大小位置都改变）而产生的，这个椭圆在变动中，保持所在平面平行于面，且两轴的端点分别沿着双曲线（6），（7）滑动。

图4-14是双叶双曲面(4.5-2)的图形。

在方程(4.5-2)中，如果，那么这时截线(8)为一圆，曲面就是一个旋转双叶双曲面。

方程

                    与

所表示的图形，也都是双叶双曲面。

单叶双曲面与双叶双曲面统称为双曲面。

例  用一组平行平面（为任意实数），截割单叶双曲面得一族椭圆，求这些椭圆焦点的轨迹。

解  这一族椭圆的方程为

即

因为，所以椭圆的长半轴为，短半轴为，

从而椭圆焦点的坐标为

消去参数得

显然这族椭圆焦点的轨迹是一条在坐标面上的双曲线，双曲线的实轴为轴，虚轴为轴。