这世上总要有个明白人，懂得克制。

只看两点： 1、常用导数的高阶公式 2、例题

例题：

这种方程里面y是x的函数，但是不显性。

例题1 设 y = y ( x ) , y 2 − 2 x y + 9 = 0 y = y(x), y^2 - 2xy +9 = 0 y=y(x),y2−2xy+9=0 求 d y d x \frac{d_y}{d_x} dx​dy​​

解：方程两边同时对x求导得

2 y y ′ − 2 y − 2 x y ′ = 0 2yy' - 2y - 2xy' = 0 2yy′−2y−2xy′=0

d y d x \frac{d_y}{d_x} dx​dy​​ = y y − x \frac{y}{y - x} y−xy​

例题2

y = ( x 1 + x ) x y = (\frac {x}{1+x}) ^x y=(1+xx​)x 求 y 的一阶导

解：方程两边同时取对数有

ln ⁡ y = x ln ⁡ ( x 1 + x ) \ln y = x \ln(\frac {x}{1+x}) lny=xln(1+xx​)

方程两边同时对x求导得

y ′ y = ln ⁡ ( x 1 + x ) + x ( 1 x − 1 1 + x ) \frac{y'}{y} = \ln(\frac {x}{1+x}) + x(\frac{1}{x} - \frac{1}{1+x}) yy′​=ln(1+xx​)+x(x1​−1+x1​)

y ′ = y ( ln ⁡ ( x 1 + x ) + 1 − x 1 + x ) y' = y(\ln(\frac {x}{1+x}) + 1 - \frac{x}{1+x}) y′=y(ln(1+xx​)+1−1+xx​)

y ′ = ( x 1 + x ) x ( ln ⁡ ( x 1 + x ) + 1 1 + x ) y' = (\frac {x}{1+x}) ^x(\ln(\frac {x}{1+x}) +\frac{1}{1+x}) y′=(1+xx​)x(ln(1+xx​)+1+x1​)

例题3

{ x = t 2 2 y = 1 − t \begin{cases} x = \frac{t^2}{2}& \text{}\\y = 1-t& \text{} \end{cases} {x=2t2​y=1−t​​ 求 d y d x \frac{d_y}{d_x} dx​dy​​, d y 2 d x 2 \frac{d^2_y}{d_x{^2}} dx​2dy2​​

解：

d y d x \frac{d_y}{d_x} dx​dy​​ = ( 1 − t ) ′ t 2 2 ′ \frac{(1-t)'}{\frac {t^2}{2}'} 2t2​′(1−t)′​ = − 1 t \frac { - 1}{t} t−1​

d y 2 d x 2 \frac{d^2_y}{d_x{^2}} dx​2dy2​​ = − 1 t ′ t 2 2 ′ \frac{\frac{-1}{t}'}{\frac {t^2}{2}'} 2t2​′t−1​′​ = 1 t 3 \frac{1}{t^3} t31​

这部分的内容和我们在高中学的差不多，基本就是求导数得斜率，再点差法写方程

例题4

求 y = cos ⁡ x y = \cos x y=cosx 在 点 ( π 3 , 1 2 ) (\frac{\pi}{3}, \frac{1}{2}) (3π​,21​) 处的切线与法线方程。

解：对y求导得：

y = − sin ⁡ x y = -\sin x y=−sinx 代入点得切线的斜率k = − 3 2 - \frac{\sqrt 3}{2} −23 ​​

由点差法可得切线的方程为： y − 1 2 = − 3 2 ( x − π 3 ) y- \frac{1}{2} = - \frac{\sqrt 3}{2}(x -\frac{\pi}{3} ) y−21​=−23 ​​(x−3π​)

而函数的法线方程就只需要将斜率改写为 2 3 \frac{2}{\sqrt 3} 3 ​2​

和前面函数的求导一样的只不过要在结尾加上 d x d_x dx​

例题5

已知 y = x sin ⁡ 2 x y = x\sin 2x y=xsin2x ，则 d y = d_y = dy​= ___ d x d_x dx​

解： d y = ( sin ⁡ 2 x + x cos ⁡ 2 x ∗ 2 d_y = (\sin 2x + x \cos 2x * 2 dy​=(sin2x+xcos2x∗2) d x d_x dx​ = ( sin ⁡ 2 x + 2 x cos ⁡ 2 x (\sin 2x + 2x \cos 2x (sin2x+2xcos2x) d x d_x dx​