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假设检验——《概率论与数理统计》第八章学习笔记
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假设检验——《概率论与数理统计》第八章学习笔记前言MindMap假设检验一些定义显著性水平检验统计量原假设 与 备择假设拒绝域显著性检验双边检验与单边检验
个人理解的解题步骤
正态总体均值的假设检验单个总体方差已知,Z检验方差未知,t检验
两个总体——t检验成对数据的检验——t检验
正态总体方差的假设检验单个总体两个总体
正态总体的检验法表后话
前言
感谢台风暹芭,让我回不去宿舍,被迫在实验室过夜,思来想去,睡不着,恰逢期末考临近,决定写一篇的第八章的学习笔记。 和之前的系列一样,教材不变。内容上,选取第八章的前三节,即假设检验,正态均值,正态方差三个部分的知识点,为什么没有其他内容,因为这次考试大概不会考。 形式上,相比前面的章节写了很多课本的定义,这次我会有更多的个人理解,尽可能直击考点。 MindMap 假设检验这一节其实就是告诉你假设检验的一些定义,以及对假设检验这一问题的解决过程与步骤。 一些定义 显著性水平我们用来对检验做衡量的标准,一般在式子中以 α出现。 检验统计量Z = X ‾ − μ 0 σ / n Z = \frac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt n} Z=σ/n X−μ0 原假设 与 备择假设我们将检验问题叙述成:在显著性水平α下,检验假设: H 0 : μ = μ 0 , H 1 : μ ≠ μ 0 H_0:\mu =\mu_0, \qquad H_1 : \mu \neq \mu_0 H0:μ=μ0,H1:μ=μ0 H0 为 原假设, H1 为 备择假设。 拒绝域就是在某个区域上取值作为 检验统计量的值时,拒绝 原假设,或者说接受备择假设,这个区域就是拒绝域,而拒绝域的边界点其实就叫 临界点。 显著性检验因为检验的依据是样本,所以检验势必会有犯错的可能,这里主要有两种错误: H0为真,但是拒绝。H1为真,但是接受原假设。我们显然希望犯这两种错误的概率都小,但是在数理统计中,如果样本容量限定了,则减小犯一类错误的概率减小的同时,另一类的概率往往增大。所以在数理统计中,采取的是对第一类控制,不考虑 第二类。这种检验就是 假设性检验。 双边检验与单边检验这里其实就是我们在做假设的时候,对于H1,μ可能大于μ0,有可能小于μ0,如果是两种都可能,那就是 双边假设, 而如果只是其中一种可能,那就是 单边假设,根据方向又可以分为 左边检验 和 右边检验。对于方向,我的个人理解是看 拒绝域或者备择假设的方向。 个人理解的解题步骤通过阅读与理解课本的例题,发现了假设检验问题的求解过程: 先根据题目确定检验假设。根据参数确定检验统计量。然后根据假设和检验统计量判断是那种假设,然后确定拒绝域。取样,其实就是根据样本观察值判断是否接受原假设。本篇中所有的总体都是正态总体,针对它的两个参数,均值μ和方差σ^2,有以下两种假设检验。 正态总体均值的假设检验 单个总体这里根据方差是否已知,又可以分为 Z检验 和 t检验。 方差已知,Z检验其实很简单,我们根据假设然后接下来需要检验样本均值是否符合假设,在显著性水平α以及其他参数下,检验统计量为: Z = X ‾ − μ 0 σ / n Z ∼ N ( μ , σ 2 ) Z = \frac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt n} \\ Z \sim N(\mu, \sigma^2) Z=σ/n X−μ0Z∼N(μ,σ2) 接下来只需根据是单边假设还是双边假设来求解就可以了。 双边就取α/2,检验统计量的绝对值高于 显著性水平下对应的 正态函数值就拒绝原假设。 方差未知,t检验这里其实就是 用了样本方差s 来近似替换 总体方差σ,当然这里需要用到t分布。 X ‾ − μ 0 S / n ∼ t ( n − 1 ) \frac{\overline{X} - \mu_0}{S/\sqrt n} \sim t(n-1) S/n X−μ0∼t(n−1) 两个总体——t检验我们对两个独立的正态总体 N ( μ 1 , σ 2 ) , N ( μ 2 , σ 2 ) N(\mu_1, \sigma^2), N(\mu_2, \sigma^2) N(μ1,σ2),N(μ2,σ2) 方差相同,均值不同,所以可以剔除检验假设: H 0 : μ 1 − μ 2 = δ , H 1 : μ 1 − μ 2 ≠ δ H_0: \mu_1 - \mu_2 = \delta, \quad H_1:\mu_1 - \mu_2 \neq \delta H0:μ1−μ2=δ,H1:μ1−μ2=δ 所以给出检验统计量: t = ( X ‾ − Y ‾ ) − δ S w 1 n 1 + 1 n 2 S w 2 = ( n 1 − 1 ) S 1 2 + ( n 2 − 1 ) S 2 2 n 1 n 2 − 2 t= \frac{(\overline{X} - \overline{Y})- \delta}{S_w\sqrt{\frac1{n_1} + \frac 1{n_2}}} \\ S_w^2 = \frac{(n_1 - 1)S_1^2 + (n_2 - 1)S^2_2}{n_1 n_2 - 2} t=Swn11+n21 (X−Y)−δSw2=n1n2−2(n1−1)S12+(n2−1)S22 成对数据的检验——t检验其实这里就是将两组数据对比求差异,然后做检验,我们一般是直接将数据相减后作为一个新的正态总体样本,接下来其实就是单个总体下的情况了。 正态总体方差的假设检验 单个总体在均值中,我们用到的是Z和t检验,说白了就是用到正态分布和 t分布, 但是在求方差的假设检验的时候,其实用到的是 ( n − 1 ) S 2 σ 0 2 ∼ χ 2 ( n − 1 ) \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} \sim \chi^2(n - 1) σ02(n−1)S2∼χ2(n−1) 两个总体用到的是F分布 S 1 2 / S 2 2 σ 1 2 / σ 2 2 ∼ F ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) \frac{S_1^2/ S_2^2}{\sigma_1^2/ \sigma_2^2} \sim F(n_1-1, n_2 -1) σ12/σ22S12/S22∼F(n1−1,n2−1) 正态总体的检验法表 后话天亮了,回去睡觉了,这一章结合教材阅读会更好一点。 |
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