一、双因素方差分析基本概念

当方差分析涉及两个分类试验因素对试验指标的影响差异性时，则可称为双因素方差分析。如要检验不用地区的不同品牌商品的市场销售潜力是否相等，或要检验不同区域不同品牌连锁店的服务消费者认可度是否相等，两个例子中均涉及“区域”、“品牌”两个因素，故其属于双因素方差分析。根据两种因素间是否存在交互作用，可以分为有交互作用的双因素方差分析和无交互作用的方差分析。基于教学目标需要，本章只介绍无交互作用的双因素方差分析。

二、问题描述

在双因素分析中，所考虑的因素有两个，各因素又包含若干种水平，而不同水平之间有可能存在系统性差异，只是需要通过检验才能验证这种系统差异是否确实存在。在检验过程中，需要分析两种因素下的不同水平间的差异是否显著存在。

例 5.4 设有 n 个工人使用 m 台机器生产同一种产品，记录每个工人使用每台机器的日产量。那么不同工人之间的生产能力是否有差异，不同机器之间的生产性能是否有差异，需要进行检验，这里所要分析的因素既包括“工人”，也包括“机器”。

例 5.5 灯泡厂在 3 个不同技术员操作下，用 4 种不同配料方案制成的灯丝生产了 4 批灯泡，那么不同技术员之间的技术是否有差异，不同配料方案之间的性能是否有差异，需要进行检验，这里所要分析的因素既包括“技术员”，也包括“配料方案”。

为分析需要，在双因素方差分析中，用A表示因素1，用B表示因素2，A因素的k个水平（总体）分别用A1,A2,…,Ak表示，B 因素的 r 个水平（总体）分别用B1,B2,…,Br表示，每个观测值用 xij(i =1,2,…,k; j =1,2,…,r )表示，即 xij表示 A 因素第 i 个水平（总体）和 B 因素第j个水平所组合成的k×r个总体中抽取的样本量为1的样本观测值。

三、分析步骤

第一步，提出假设。

对A因素提出的假设为

H：μ1=μ2=…=μk(假设A因素各水平间没有显著差异，也即A因素对试验指标无显著影响)

H1：μi不全相等（i=1,2,…,k）（假设A因素各水平间有显著差异，也即A因素对试验指标有显著影响）

对B因素提出的假设为

H：μ1=μ2=…=μr(假设B因素各水平间没有显著差异，也即B因素对试验指标无显著影响)

H1：μi不全相等（i=1,2,…,r）(假设B因素各水平间有显著差异，也即B因素对试验指标有显著影响）

第二步，构造统计量。

计算各误差平方和。

总平方和：

组间平方和：

组内平方和：

第三步，计算统计量。

ST的自由度为kr-1；SA的自由度为k-1，其中k为因素水平的个数；SB的自由度为r-1；SE的自由度为(k-1)(r-1)。

第四步，统计决策。

根据给定的显著性水平 aα，在 F 分布表中可得临界值 Fα(k−1,(k−1)(r−1)) 和Fα(r−1,(k−1)(r−1))。

若FA>Fα(k−1,(k−1)(r−1)) ，则拒绝原假设，表明 A 因素各水平之间存在显著差异，也即A因素对试验指标有显著影响。

若FAFα(r−1,(k−1)(r−1)) ，则拒绝原假设，表明 B 因素各水平之间存在显著差异，也即B因素对试验指标有显著影响。

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