其中，体积流量Q/ρ是单位时间流过截面的流体体积。通电导体中也有类似的概念，即电流I，它是单位时间流过截面的电荷量。流体流动由压强差Δp驱动，而电荷的流动则是由电势差（电压）V驱动。于是可以作如下物理概念的类比：

进一步观察欧姆定律的形式：

对比泊肃叶定律，可得电阻与泊肃叶公式中的量具有如下类比关系：

这里的电阻由“~”符号标记，是为了与半径R区分。电阻表示的是导体对电荷流动的阻碍作用，这说明上式中8μΔz/(πR^4)也可用来表征圆管对流体流动的阻碍作用。导线越长对电流的阻碍就越大，同理圆管越长，它对流量的阻碍也越大，不管是导线还是圆管，阻碍作用都与其长度成正比；同样的，导线的截面积越大，电流的阻碍作用就越小，同理圆管截面积越大，它对流量的阻碍作用也越小。但需要注意的是，电阻与截面积成反比，而圆管的阻碍作用8μΔz/(πR^4)与截面积的平方成反比，这是它们之间的一个重要区别。这也说明了圆管的阻碍关于其半径R非常敏感，所以对于动脉粥样硬化的病人，其血管中由于沉积了脂肪或其它杂质，血管有效半径减小，那么血管对血流的阻碍会急剧增大，极大地危害身体健康。

研究三角管中的粘滞流体 化简纳维尔-斯托克斯方程

上节直播课，张朝阳利用纳维尔-斯托克斯方程导出了圆管的流量与流体压强和圆管参数之间的关系。这节课他进一步利用纳维尔-斯托克斯方程来推导三角管的流量公式。在这里的三角管中，垂直于中心轴的截面恒为相同大小的等边三角形。

（张朝阳证明稳恒层流情况的压强只与z有关）

如上图所示建立直角坐标系，xz平面与三角管的一个管面重合，并令z轴与管中流体流速方向相反。与上节课推导泊肃叶定律类似，张朝阳这节课仍然从流体力学中最基础的纳维尔-斯托克斯方程出发：

进一步假设流体雷诺数较小，流体处于稳恒层流的状态，并认为流体只具有沿z方向的速度。那么，由于流体不可压缩，由流量守恒可知速度与坐标z无关，柱坐标系中流体的速度场可以写成：

由于流速与时间无关，在不考虑重力场的情况下，纳维尔-斯托克斯方程可以写成稳恒形式：

由导数算符的直角坐标形式，结合速度场在柱坐标下的表达式v=v(x,y)e_z，可以得到上式的最左边项为：

于是，稳恒层流的纳维尔-斯托克斯方程又可以进一步化简成：

将上式用直角坐标以及直角坐标轴的单位矢量表示为：

先来看上述等式的z分量：

注意到等式的右边不含有坐标z，这说明∂p/∂z不随着坐标z变化，至多只与x、y有关。接下来进一步分析直角坐标表示的纳维尔-斯托克斯方程的x分量与y分量，应有：

这说明压强P与x和y都无关，结合∂p/∂z与z无关的性质，可知∂p/∂z在整个三角管内为一个常数c：

将上式带回化简过后的纳维尔-斯托克斯方程，最终得到流速所满足的方程为：

该方程是泊松方程，有传统的标准解法，但比较麻烦，张朝阳接下来介绍一种可以较为方便地推测出其解的方法。

写出边界所处的直线方程 巧妙组合得到流速方程的解

与泊肃叶定理相同，这里也假定不滑动边界条件，即管壁处流体流速为零。为了更加精准地利用边界条件，需要将边界的方程写出来。

如上图所示，管壁在xy平面表示为三条线段l1，l2，l3，设作为截面的等边三角形的高度为h，那么在y轴上的三角形顶点的xy平面坐标为(h, 0)，进一步根据简单的几何关系可得边的长度为2h/√3，那么在x轴上的两个三角形顶点坐标为(-h/√3, 0)与(h/√3, 0)。已知三角形三个顶点的坐标，可求得三条线段l1，l2，l3所在的直线方程分别为：

（张朝阳写出xy平面上边界所处直线的方程）

不滑动边界条件表明流速在l1，l2，l3上都为零：v(l1)=v(l2)=v(l3)=0，即要求满足上述方程的点(x, y)作为流速场v(x, y)的自变量时，都会使得v(x,y)=0。注意到l1上的点，会使得式子y等于零，而l2上的点，会使得x与y的组合式y-h+√3x等于零，同样的l3上的点，会使得x与y的另一组合式y-h-√3x等于零，那么上述三种x与y的组合式相乘得到的式子必然在l1，l2，l3上同时为零，这正好满足不滑动边界条件的要求v(l1)=v(l2)=v(l3)=0。所以，可以先猜测流速场的表达式为：

为了验证该表达式的正确性以及求得参数α的值，张朝阳将其代入流速所满足的泊松方程：

上式两边都没有关于x与y的依赖，都是常数，说明前面猜测的流速表达式是正确的，进一步将上式移项并整理得到参数α的值：

将参数α的值带回流速场的表达式得到：

（张朝阳利用边界条件巧妙求得流速方程的解）

有了流速关于空间的分布，可以通过对三角管的截面的积分得到体积流量：

上述公式的积分细节，张朝阳留作作业给网友解答。由三角管的体积流量公式可知，流量的大小与三角管的高度h的四次方成正比，这与圆管中的流量与半径R的四次方成正比类似。三角管流量还与压强梯度c成正比、与粘滞系数μ成反比，这也与泊肃叶定理一致。从整个形式上看，除了比例系数不同，三角管流量与圆管流量，两者关于截面积、压强梯度以及粘滞系数的依赖关系是一样的。

据了解，《张朝阳的物理课》于每周周五、周日中午12时在搜狐视频直播，网友可以在搜狐视频“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期完整视频回放；关注“张朝阳的物理课”账号，查看课程中的“知识点”短视频。此外，还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上，阅览每期物理课程的详细文章。返回搜狐，查看更多