勾股定理的发现与证明,勾股定理为什么又叫商高定理、毕达哥拉斯定理 |
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勾股定理的发现与证明
勾股定理是一个基本几何定理,是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一。勾股定理是余弦定理的一个特例。 世界上几个文明古国如古巴比伦、古埃及都先后研究过这条定理。我国是最早了解勾股定理的国家之一,被称为“商高定理”。 ■商高画像 成书于公元前1世纪的我国最古老的天文学著作《周髀算经》中,记载了周武王的大臣周公询问皇家数学家商高的话,其中就有勾股定理的内容。 这段话的内容是,周公问:“我听说你对数学非常精通,我想请教一下:天没有梯子可以上去,地也没法用尺子去一段一段丈量,那么关于天的高度和地面的一些测量的数据是怎么样得到的呢?” 商高说:“数的产生来源于对圆和方这些图形的认识。其中有一条原理:当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3,另一条直角边‘股’等于4的时候,那么,它的斜边‘弦’就必定是5。” 这段对话,是我国古籍中“勾三、股四、弦五”的最早记载。 用现在的数学语言来表述就是:在任何一个不等腰的直角三角形中,两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方。也可以理解成两个长边的平方之差与最短边的平方相等。 基于上述渊源,我国学者一般把此定理叫作“勾股定理”或“商高定理”。 商高没有解答勾股定理的具体内容,不过周公的后人陈子曾经运用他所理解的太阳和大地知识,运用勾股定理测日影,以确定太阳的高度。这是我国古代人民利用勾股定理在科学上进行的实践。 ■陈子雕像 镐京 位于今西安长安区西北,西周都城,又称“西都”、“宗周”。周武王即位以后,由丰邑迁都镐京,末年迁都洛邑。西周在丰镐建都历时289 年。西安地区在历史上曾先后有西周、秦、西汉、新、隋、唐等6个王朝,因此称西安是“六朝古都”。 周公的后人陈子也成了一个数学家,是他详细地讲述了测量太阳高度的全套方案。这位陈子是当时的数学权威,《周髀算经》这本书,除了最前面一节提到商高以外,剩下的部分说的都是陈子的事。 据《周髀算经》说,陈子等人的确以勾股定理为工具,求得了太阳与镐京之间的距离。为了达到这个目的,他还用了其他一系列的测量方法。 陈子用一只长8尺,直径0.1尺的空心竹筒来观察太阳,让太阳恰好装满竹筒的圆孔,这时候太阳的直径与它到观察者之间距离的比例正好是竹筒直径和长度的比例,即1比80。 经过诸如此类的测量和计算,陈子和他的科研小组测得日下60000里,日高80000里,根据勾股定理,求得斜至日整10万里。 这个答案现在看来当然是错的。但在当时,陈子对他的方案充分信心。他进一步阐述这个方案: 在夏至或者冬至这一天的正午,立一根8尺高的竿来测量日影,根据实测,正南1000里的地方,日影1.5尺,正北1000里的地方,日影1.7尺。这是实测,下面就是推理了。 越往北去,日影会越来越长,总有一个地方,日影的长会正好是6尺,这样,测竿高8尺,日影长6尺,日影的端点到测竿的端点,正好是10尺,是一个完美的“勾三股四弦五”的直角三角形。 这时候的太阳和地面,正好是这个直角三角形放大若干倍的相似形,而根据刚才实测数据来说,南北移动1000里,日影的长短变化是0.1尺,那由此往南60000里,测得的日影就该是零。 也就是说从这个测点到“日下”,太阳的正下方,正好是60000里,于是推得日高80000里,斜至日整10万里。 接下来,陈子又讲天有多高地有多大,太阳一天行几度,在他那儿都有答案。 陈子根本没有想到这一切都是错的。他要是知道他脚下大得没边的大地,只不过是一个小小的寰球,体积是太阳的一百三十万分之一,就像飘在空中的一粒尘土,真不知道他会是什么表情。 书的最后陈子说:一年有365天4分日之一,有12月19分月之7,一月有29天940分日之499。这个认识,有零有整,而且基本上是对的。 赵君卿 三国时期数学家。他的主要贡献是约在222年深入研究了《周髀算经》,为该书写了序言,并作了详细注释。其中一段530余字的“勾股圆方图”注文是数学史上极有价值的文献。它记述了勾股定理的理论证明。 ■赵君卿画像 现在大家都知道一年有365天,好像不算是什么学问,但在那个时代,陈子的学问不是那么简单的,虽然他不是全对。 勾股定理的应用,在我国战国时期另一部古籍《路史后记十二注》中也有记载:大禹为了治理洪水,使不决流江河,根据地势高低,决定水流走向,因势利导,使洪水注入海中,不再有大水漫溢的灾害,也是应用勾股定理的结果。 勾股定理在几何学中的应用非常广泛,较早的案例有《九章算术》中的一题:有一个正方形的池塘,池塘的边长为1丈,有一棵芦苇生长在池塘的正中央,并且芦苇高出水面部分有1尺,如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿,问水深和芦苇的高度各多少? 这是一道很古老的问题,《九章算术》给出的答案是“12尺”、“13尺”。这是用勾股定理算出的结果。 汉代的数学家赵君卿,在注《周髀算经》时,附了一个图来证明“商高定理”。这个证明是400多种“商高定理”的证明中最简单和最巧妙的。外国人用同样的方法来证明的,最早是印度数学家巴斯卡拉·阿查雅,那是1150年的时候,可是比赵君卿还晚了1000年。 东汉初年,根据西汉和西汉时期以前数学知识积累而编纂的一部数学著作《九章算术》里面,有一章就是讲“商高定理”在生产事业上的应用。 直至清代才有华蘅芳、李锐、项名达、梅文鼎等创立了这个定理的几种巧妙的证明。 勾股定理是人们认识宇宙中形的规律的起点,在东西方文明起源过程中,有着很多动人的故事。 我国古代数学著作《九章算术》的第九章即为勾股术,并且整体上呈现出明确的算法和应用性特点,表明已懂得利用一些特殊的直角三角形来切割方形的石块,从事建筑庙宇、城墙等。 这与欧几里得《几何原本》第一章的毕达哥拉斯定理及其显现出来的推理和纯理性特点恰好形成熠熠生辉的对比,令人感慨。 勾股定理为什么又叫商高定理、毕达哥拉斯定理“商高定理”在外国称为“毕达哥拉斯定理”。为什么一个定理有这么多名称呢? 毕达哥拉斯是古希腊数学家,他是公元前5世纪的人,比商高晚出生500多年。希腊另一位数学家欧几里得在编著《几何原本》时,认为这个定理是毕拉哥拉斯最早发现的,所以他就把这个定理称为“毕拉哥拉斯定理”,以后就流传开了。 事实上,说勾股定理是毕达哥拉斯所发现的是不大确切的。因为在这之前,古埃及、古巴比伦和我国都已经出现了这方面的理论与实践。 相关推荐文章: 青少年想要知道的中国数学史:中国数学理论体系的建立 中国数学理论体系的建立 《九章算术》问世之后,我国的数学著述基本上采取两种方式:一是为《九章算术》作注;二是以《九章算术》为楷模编纂新的著作。其中刘徽的《九章算术注》被认为是我国古代数学理论体系的开端。 祖冲之的数学研究工作在南北朝时期最具代表性,他在刘徽《九章算术注》的基础上,将传统数学大大向前推进了一步,成为重视数学思维和数学推理的典范。我国古典数学理论体系至此建立。 ■数学家刘徽 一位农妇在河边洗碗。她的邻居闲来无事,就走过来问:“你洗这么多碗,家里来了多少客人?” 农妇笑了笑,答道:“客人每2位合用一只饭碗... 青少年想要知道的中国数学史:中国古典数学发展的高峰 中国古典数学发展的高峰 唐代是我国封建社会鼎盛时期。朝廷在国子监设算学馆,置算学博士、助教指导学生学习。为宋元时期数学发展高潮拉开了序幕。 南宋时期翻刻的数学著作,是目前世界上传世最早的印刷本数学著作。贾宪、李冶、杨辉、朱世杰等人的著作,对传播普及数学知识,意义尤为深远。 唐代有个天文学家,名叫李淳风,有一次,他在校对新岁历书时,发现朔日将出现日蚀,这是不吉祥的预兆。 唐太宗听说这个消息很不高兴,说:“日蚀如不出现,那时看你如何处置自己?” 李淳风说:“如果没有日蚀,我甘愿受死。” 到了朔日,也就是初一那天,皇帝便... 青少年想要知道的中国数学史:中西方数学的融合 中西方数学的融合 明末清初,西方初等数学开始陆续传入我国,使我国的数学研究出现一个中西融会贯通的局面。鸦片战争以后,西方近代数学开始传入我国,我国数学转入一个以学习西方数学为主的时期。 在西学东渐的过程中,徐光启的《几何原本》、梅文鼎的《梅氏丛书辑要》,以及李善兰等人的译作和著述,促进了中西方数学的融合。 ■《几何原本》 ■徐光启 (1562年~1633年), 字子先,号玄扈,谥文定。我国明朝末年西学、数学、天文、机械、水利、农学、军事学者,思想家、政治家、军事家。他是近代中西文化交流的先驱之一。 1604年,徐光... 小学趣味数学故事:勾股定理的故事 勾股定理可能对于大多数同学们来说并不陌生,可能还有同学会认为勾股定理这么简单的定理,还需要拿出来讲吗?可是同学们要记得一句话:今天的成就可能是古人们花了几百年甚至几千年的经历共同研究探讨出来的结果,勾股定理就是中外古人的智慧结晶。 勾股定理的趣味小故事: 中国在很早的时候就开始应用勾股定理了。 四千多年前,黄河流域的洪水经常泛滥成灾。大约在公元前21世纪,大禹率领众人治水,开山修渠,挖河筑路,他“左准绳,右规矩”。这里的“规”就是圆规,“矩”就是曲尺,用的就是勾股定理来进行测量计算的。 公元前1100年... 青少年想要知道的中国数学史:中国数学的萌芽与奠基 数学是我国古代科学中的一门重要学科,其发展源远流长,成就辉煌。根据它本身的特点,可分为这样几个时期:先秦萌芽和汉唐奠基时期、古典数学理论体系建立的时期、古典数学发展的高峰时期和中西方数学的融合时期。 我国古代数学具有特殊的形式和思想内容。它以解决实际问题为目标,研究建立算法与提高计算技术,而且寓理于算,理论高度概括。同时,数学教育总是被打上哲学与古代学术思想的烙印,故具有鲜明的社会性和浓厚的人文色彩。 中国数学的萌芽与奠基 石器时代 我国古代数学发轫于原始公社末期,当时私有制和货物交换产生以后,数与形的概念有了进一... |
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