空间统计学:快速理解反距离加权法(IDW) |
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空间插值
说到反距离加权法,首先我们要先了解空间插值的概念 对于一个平面,我们并不能获取所有区域的精确信息,所以一般情况下,我们通过采样的方式只获取部分点的信息。然后通过空间插值,计算出一个区域所有的数据 左图我采样了部分点的高程数据,右图我通过这部分高程数据,通过空间插值计算出所有区域的数据。 具体插值原理是什么呢,见下图 9和10是数据已知的点,那么我通过两点的数据,结合它们之间的距离,我就可以估算出红点的具体数据。 对于空间上的点来说,未知值的点与样本点之间的距离决定了其最终值的估计。 那么具体他是怎么结合距离数据和本身的值计算位置数据的呢?常用的插值方法包括反距离加权法(IDW)、克里金(Kriging)等。那么本篇文章就是讲解其中之一的反距离加权法。 反距离加权法(IDW)反距离加权法(Inverse Distance Weighting, IDW)是一种常见的空间插值方法,常用于将已知分散的样点数据插值为连续的地表或地下场景。下面是反距离加权法的简要步骤: 确定待插值位置和已知样点位置。根据待插值位置与已知样点的欧几里得距离(或其他距离指标),计算每个样点的权重,一般权重与距离的倒数成正比。使用每个样点的权重对其函数值进行加权平均,得到插值结果。下面详细解释这三个步骤: 1. 确定待插值位置和已知样点位置首先我们需要确定待插值位置的坐标和范围,以及已知样点的坐标和数值。 2. 计算权重对于每个待插值位置,我们需要计算它与所有已知样点的距离,并将距离转化为权重。一般来说,样点与待插值位置之间的欧几里得距离越小,样点对插值结果的影响就越大,因此权重与距离成反比,可使用以下公式计算: 其中 wi 是第 i 个样点的权重,di 是该样点与待插值位置的距离,p 是一个可调参数,一般取值为 2 (欧几里得距离)或 3 (曼哈顿距离),也可以通过交叉验证等方法来确定最优的 p 值。 3. 加权平均求解计算出每个已知样点的权重后,我们可以将它们的函数值进行加权平均,得到待插值位置的函数值。具体地,设已知样点的个数为 N,第 i 个样点的坐标为 (xi,yi),权重为 wi,函数值为 zi,则待插值位置的函数值z(x,y) 可以通过以下公式计算: 其中分子为各样点函数值乘以对应权重的总和,分母为权重之和,它们的比值即为插值结果。 反距离加权法的优缺点反距离加权法的主要优点是简单易用,而且在样点分布相对均匀的情况下效果较好。它也有一些缺点,例如插值结果表现出的锯齿状特征、函数值抖动等问题。为解决这些问题,通常需要采用其他空间插值方法,例如径向基函数插值(Radial Basis Function, RBF)、克里金插值等。 代码实现使用 Python 的 Matplotlib 库生成反距离加权法(IDW)插值示意图 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.interpolate import Rbf # 构造样点数据 np.random.seed(0) x = np.random.rand(20) * 10 - 5 y = np.random.rand(20) * 10 - 5 z = np.sin(np.sqrt(x**2 + y**2)) xi, yi = np.meshgrid(np.linspace(-5, 5, 50), np.linspace(-5, 5, 50)) # 计算插值结果 rbf = Rbf(x, y, z, function='inverse') zi = rbf(xi, yi) # 绘制示意图 plt.imshow(zi, cmap='rainbow', extent=(-5, 5, -5, 5)) plt.colorbar() plt.scatter(x, y, c=z, cmap='rainbow', edgecolors='black', linewidths=1) plt.title('Inverse Distance Weighting Interpolation') plt.xlabel('X') plt.ylabel('Y') plt.show()解释代码: 第一部分: 当我们使用反距离加权法对二维数据进行插值时,需要确定已知样点的位置和对应数值,以及待插值位置的坐标。内容包括通过numpy库生成20个随机的二维坐标点,并在这些点上计算对应的函数值。在x轴和y轴上各取50个均匀分布的点,形成二维网格,作为插值结果的横纵坐标。 第二部分: 利用scipy库中的Rbf函数进行插值,并指定插值函数为inverse distance weighting(IDW)。 第三部分: 将插值结果用彩虹色表现出来,并添加颜色条、散点图等元素,以便更好地展示 结果 其中: 圆点表示已知样点,每个样点都有一个数值。彩色网格表示未知区域,我们需要计算这些位置的数值。网格上的每个颜色块表示对应位置的插值结果,颜色越深表示对应位置的数值越大。通过反距离加权法,可以计算未知区域内每个网格点的数值。以左上角网格点为例,其数值可通过对已知样点进行加权平均得到,权重与样点间的距离成反比,距离越近的样点权重越大。最终得到的插值结果可用于制图、分析等用途。 在该图中,我们可以观察到: 插值结果整体呈现出类似于圆形的形状,与样点分布的形状有关。在样点位置附近,插值结果的颜色更深,数值更大;而在远离样点的位置,插值结果的颜色较浅,数值较小。样点之间的插值结果呈现出类似于“锯齿状”的形态,在实际应用过程中需要注意。总的来说,反距离加权法是一种简单而有效的空间插值方法,适用于各种数据类型和应用领域。 |
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