二阶线性微分方程解的结构(齐次与非齐次)+ 常数变易法 |
您所在的位置:网站首页 › 判断是否为线性微分方程的方法有什么特点 › 二阶线性微分方程解的结构(齐次与非齐次)+ 常数变易法 |
一、线性微分方程的解的结构
1.1 二阶齐次线性方程
y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = 0 (1) y''+P(x)y'+Q(x)y=0 \tag{1} y′′+P(x)y′+Q(x)y=0(1) 定理1:如果函数 y 1 ( x ) y_1(x) y1(x)与 y 2 ( x ) y_2(x) y2(x)是方程(1)的两个解,那么 y = C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) (2) y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x) \tag{2} y=C1y1(x)+C2y2(x)(2) 也是方程(1)的解,其中 C 1 , C 2 C_1,C_2 C1,C2是任意常数。 解(2)从形式上看含有 C 1 C_1 C1和 C 2 C_2 C2两个任意常数,但它不一定是方程(1)的通解。那么在什么情况下(2)式才是方程(1)的通解呢?要解决这个问题,还得引入新概念,即函数组的线性相关与线性无关。 设 y 1 ( x ) , y 2 ( x ) , ⋅ ⋅ ⋅ , y n ( x ) y_1(x),y_2(x),···,y_n(x) y1(x),y2(x),⋅⋅⋅,yn(x)为定义在区间 I I I上的n个函数,如果存在n个不全为零的常数 k 1 , k 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , k n k_1,k_2,···,k_n k1,k2,⋅⋅⋅,kn,使得当 x ∈ I x\in I x∈I时有恒等式 k 1 y 1 + k 2 y 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + k n y n = 0 k_1y_1+k_2y_2+···+k_ny_n=0 k1y1+k2y2+⋅⋅⋅+knyn=0 成立,那么称这n个函数在区间I上线性相关;否则线性无关。 应用上述概念可知,对于两个函数的情形,它们线性相关与否,只要看它们的比是否为常数;如果比为常数,那么它们就线性相关;否则就线性无关。 定理2:如果 y 1 ( x ) y_1(x) y1(x)与 y 2 ( x ) y_2(x) y2(x)是方程(1)的两个线性无关的特解,那么 y = C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x) y=C1y1(x)+C2y2(x) 就是方程(1)的通解, C 1 , C 2 C_1,C_2 C1,C2是任意常数。 推论:如果 y 1 ( x ) , y 2 ( x ) , ⋅ ⋅ ⋅ , y n ( x ) y_1(x),y_2(x),···,y_n(x) y1(x),y2(x),⋅⋅⋅,yn(x)是n阶齐次线性方程 y ( n ) + a 1 ( x ) y ( n − 1 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + a n − 1 ( x ) y ′ + a n ( x ) y = 0 y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+···+a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=0 y(n)+a1(x)y(n−1)+⋅⋅⋅+an−1(x)y′+an(x)y=0 的n个线性无关的解,那么,此方程的通解为 y = C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) + ⋅ ⋅ ⋅ + C n y n ( x ) y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+···+C_ny_n(x) y=C1y1(x)+C2y2(x)+⋅⋅⋅+Cnyn(x) 其中 C 1 , C 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , C n C_1,C_2,···,C_n C1,C2,⋅⋅⋅,Cn为任意常数。 1.2 二阶非齐次线性方程一阶非齐次线性微分方程 的通解由两部分构成:一部分是对应的齐次方程的通解,另一部分是非齐次方程本身的一个特解。实际上,不仅一阶非齐次线性方程的通解具有这样的结构,而且二阶及更高阶的非齐次线性微分方程的通解也具有同样的结构。 定理3:设 y ∗ ( x ) y^*(x) y∗(x)是二阶非齐次线性方程 y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f ( x ) (3) y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x) \tag{3} y′′+P(x)y′+Q(x)y=f(x)(3) 的一个特解。 Y ( x ) Y(x) Y(x)是与(3)对应的齐次方程(1)的通解,则 y = Y ( x ) + y ∗ ( x ) y=Y(x)+y^*(x) y=Y(x)+y∗(x) 是二阶非齐次线性方程(3)的通解。 由于对应的齐次方程(1)的通解 Y = C 1 y 1 + C 2 y 2 Y=C_1y_1+C_2y_2 Y=C1y1+C2y2中含有两个任意常数,所以 y = Y + y ∗ y=Y+y^* y=Y+y∗中也含有两个任意常数,从而它就是二阶非齐次线性方程(3)的通解。 定理4:设非齐次线性方程(3)的右端 f ( x ) f(x) f(x)是两个函数之和,即 y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f 1 ( x ) + f 2 ( x ) y''+P(x)y'+Q(x)y=f_1(x)+f_2(x) y′′+P(x)y′+Q(x)y=f1(x)+f2(x) 而 y 1 ∗ ( x ) y_1^*(x) y1∗(x)与 y 2 ∗ ( x ) y_2^*(x) y2∗(x)分别是方程 y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f 1 ( x ) y''+P(x)y'+Q(x)y=f_1(x) y′′+P(x)y′+Q(x)y=f1(x) 与 y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f 2 ( x ) y''+P(x)y'+Q(x)y=f_2(x) y′′+P(x)y′+Q(x)y=f2(x) 的特解,则 y 1 ∗ ( x ) + y 2 ∗ ( x ) y_1^*(x)+y_2^*(x) y1∗(x)+y2∗(x)就是原方程的特解。 这已订立通常称为线性微分方程的解的叠加原理。 定理3和定理4也可推广到n阶非齐次线性方程。 二、 常数变易法为解一阶非齐次线性方程,我们用了常数变易法。这方法的特点是:如果 C y 1 ( x ) Cy_1(x) Cy1(x)是齐次线性方程的通解,那么,可以利用变换 y = u y 1 ( x ) y=uy_1(x) y=uy1(x)(这变换是把齐次方程的通解中的任意常数C换成未知函数 u ( x ) u(x) u(x)而得到的)去解非齐次线性方程。这一方法也适用于解高阶线性方程。下面就二阶线性方程来作讨论。 2.1 已知齐次方程的两个解 y 1 ( x ) y_1(x) y1(x)和 y 2 ( x ) y_2(x) y2(x)如果已知齐次方程(1)的通解为 Y ( x ) = C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) Y(x)=C_1y_1(x)+C_2y_2(x) Y(x)=C1y1(x)+C2y2(x) 那么,可以用如下的常数变易法去求非齐次方程(3)的通解。令 y = y 1 ( x ) v 1 + y 2 ( x ) v 2 (4) y=y_1(x)v_1+y_2(x)v_2 \tag{4} y=y1(x)v1+y2(x)v2(4) 要确定未知函数 v 1 ( x ) v_1(x) v1(x)及 v 2 ( x ) v_2(x) v2(x)使(4)式所表示的函数满足非齐次方程(3)。为此对(4)式求导,得 y ′ = y 1 v 1 ′ + y 2 v 2 ′ + y 1 ′ v 1 + y 2 ′ v 2 y'=y_1v_1'+y_2v_2'+y_1'v_1+y_2'v_2 y′=y1v1′+y2v2′+y1′v1+y2′v2 由于两个未知函数 v 1 , v 2 v_1,v_2 v1,v2只需使(4)式所表示的函数满足一个关系式(3),所以可规定它们再满足一个关系式。从 y ′ y' y′的上述表示可看出,为了使 y ′ ′ y'' y′′的表示式中不含 v 1 ′ ′ v_1'' v1′′和 v 2 ′ ′ v_2'' v2′′,可设 y 1 v 1 ′ + y 2 v 2 ′ = 0 (5) y_1v_1'+y_2v_2'=0 \tag{5} y1v1′+y2v2′=0(5) 从而 y ′ = y 1 ′ v 1 + y 2 ′ v 2 y'=y_1'v_1+y_2'v_2 y′=y1′v1+y2′v2 再求导,得 y ′ ′ = y 1 ′ v 1 ′ + y 2 ′ v 2 ′ + y 1 ′ ′ v 1 + y 2 ′ ′ v 2 y''=y_1'v_1'+y_2'v_2'+y_1''v_1+y_2''v_2 y′′=y1′v1′+y2′v2′+y1′′v1+y2′′v2 把 y , y ′ , y ′ ′ y,y',y'' y,y′,y′′代入方程(3),化简得 y 1 ′ v 1 ′ + y 2 ′ v 2 ′ + ( y 1 ′ ′ + P y 1 ′ + Q y 1 ) v 1 + ( y 2 ′ ′ + P y 2 ′ + Q y 2 ) v 2 = f y'_1v'_1+y_2'v'_2+(y_1''+Py_1'+Qy_1)v_1+(y_2''+Py_2'+Qy_2)v_2=f y1′v1′+y2′v2′+(y1′′+Py1′+Qy1)v1+(y2′′+Py2′+Qy2)v2=f 注意到 y 1 y_1 y1及 y 2 y_2 y2是齐次方程(1)的解,故上式即为 y 1 ′ v 1 ′ + y 2 ′ v 2 ′ = f (6) y_1'v_1'+y_2'v_2'=f \tag{6} y1′v1′+y2′v2′=f(6) 联立方程(5)与(6),在系数行列式 W = ∣ y 1 y 2 y 1 ′ y 2 ′ ∣ = y 1 y 2 ′ − y 1 ′ y 2 ≠ 0 W =\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1'& y_2' \end{vmatrix} =y_1y_2'-y_1'y_2 \neq 0 W=∣∣∣∣y1y1′y2y2′∣∣∣∣=y1y2′−y1′y2=0 时,可解得 v 1 ′ = − y 2 f W , v 2 ′ = y 1 f W v_1'=-\frac{y_2 f}{W},\, v_2'=\frac{y_1f}{W} v1′=−Wy2f,v2′=Wy1f 对上两式积分(假定 f ( x ) f(x) f(x)连续),得 v 1 = C 1 + ∫ ( − y 2 f W ) d x , v 2 = C 2 + ∫ y 1 f W d x v_1=C_1+\int(-\frac{y_2f}{W})dx,\, v_2=C_2+\int\frac{y_1f}{W}dx v1=C1+∫(−Wy2f)dx,v2=C2+∫Wy1fdx 于是得非齐次方程(3)的通解为 y = C 1 y 1 + C 2 y 2 − y 1 ∫ y 2 f W d x + y 2 ∫ y 1 f W d x y=C_1y_1+C_2y_2-y_1\int\frac{y_2f}{W}dx+y_2\int\frac{y_1f}{W}dx y=C1y1+C2y2−y1∫Wy2fdx+y2∫Wy1fdx 2.2 已知齐次方程的一个解 y 1 ( x ) y_1(x) y1(x)如果只知齐次方程(1)的一个不恒为零的解 y 1 ( x ) y_1(x) y1(x),那么,利用变换 y = u y 1 ( x ) y=uy_1(x) y=uy1(x),可把非齐次方程(3)化为一阶线性方程。 事实上,把 y = y 1 u , y ′ = y 1 u ′ + u 1 ′ u , y ′ ′ = y 1 u ′ ′ + 2 y 1 ′ u ′ + y 1 ′ ′ u y=y_1u,\,y'=y_1u'+u_1'u,\, y''=y_1u''+2y_1'u'+y_1''u y=y1u,y′=y1u′+u1′u,y′′=y1u′′+2y1′u′+y1′′u 代入方程(3),化简得 y 1 u ′ ′ + ( 2 y 1 ′ + P y 1 ) u ′ + ( y 1 ′ ′ + P y 1 ′ + Q y 1 ) u = f y_1u''+(2y_1'+Py_1)u'+(y_1''+Py_1'+Qy_1)u=f y1u′′+(2y1′+Py1)u′+(y1′′+Py1′+Qy1)u=f 由于 y 1 ′ ′ + P y 1 ′ + Q y 1 = 0 y_1''+Py_1'+Qy_1=0 y1′′+Py1′+Qy1=0,故上式为 y 1 u ′ ′ + ( 2 y 1 ′ ′ + P y 1 ) u ′ = f y_1u''+(2y_1''+Py_1)u'=f y1u′′+(2y1′′+Py1)u′=f 令 u ′ = z u'=z u′=z,上式即化为一阶线性方程 y 1 z ′ + ( 2 y 1 ′ + P y 1 ) z = f (7) y_1z'+(2y_1'+Py_1)z=f \tag{7} y1z′+(2y1′+Py1)z=f(7) 把方程(3)化为方程(7)以后,按一阶线性方程的解法,设求得方程(7)的通解为 z = C 2 Z ( x ) + z ∗ ( x ) z=C_2Z(x)+z^*(x) z=C2Z(x)+z∗(x) 积分得 u = C 1 + C 2 U ( x ) + u ∗ ( x ) u=C_1+C_2U(x)+u^*(x) u=C1+C2U(x)+u∗(x)(其中 U ′ ( x ) = Z ( x ) , u ∗ ’ ( x ) = z ∗ ( x ) U'(x)=Z(x),u^{*}{’}(x)=z^*(x) U′(x)=Z(x),u∗’(x)=z∗(x)), 上式两端乘 y 1 ( x ) y_1(x) y1(x),便得方程(3)的通解 y = C 1 y 1 ( x ) + C 2 U ( x ) y 1 ( x ) + u ∗ ( x ) y 1 ( x ) y=C_1y_1(x)+C_2U(x)y_1(x)+u^*(x)y_1(x) y=C1y1(x)+C2U(x)y1(x)+u∗(x)y1(x) 上式方法显然也适用于求齐次方程(1)的通解。 |
今日新闻 |
点击排行 |
|
推荐新闻 |
图片新闻 |
|
专题文章 |
CopyRight 2018-2019 实验室设备网 版权所有 win10的实时保护怎么永久关闭 |