②一个三角形中至多有一个直角或一个钝角；

③一个三角中至少有两个内角是锐角。

（2）三角形的外角和：360°

（3） 三角形外角的性质：

①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；——常用来求角度

②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。——常用来比较角的大小

5.多边形的内角与外角

多边形的内角和与外角和（识记）

（1）多边形的内角和：（n-2）180°

（2）多边形的外角和：360°

引申：（1）从n边形的一个顶点出发能作（n-3）条对角线；

（2）多边形有 条对角线。

（3）从n边形的一个顶点出发能将n边形分成（n-2）个三角形；

※6．镶嵌

（1）同一种正三边形、正四边形、正六边形可以进行平面镶嵌；

（2）正三角形与正四边形、正三角形与正六边形……可以进行平面镶嵌；

（1）同一种任意三角形、任意四边形可以进行镶嵌。

【典型例题】

三角形的分类

例题1：具备下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ B ）。

A：∠A+∠B=∠C B：∠A=∠B= ∠C C：∠A=90°-∠B D：∠A-∠B=90

例题2：等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( D )．

A．60°　　　 B．120°　　　 C．60°或150°　　D．60°或120°

如图，∠1+∠2+∠3+∠4等于多少度； （280°）

练习：

1、如图，下列说法错误的是( A )

A、∠B>∠ACDB、∠B+∠ACB=180°－∠A

C、∠B+∠ACB∠B

2、若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是( C ).

A、直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、无法确定

三角形的内角和、外角和相关的计算与证明

例题1： 若三角形的三个外角的比为3：4：5，则这个三角形为（ B ）．

A．锐角三角形 　 B．直角三角形 C．等边三角形 　　　D．钝角三角形

例题2：已知等腰三角形的一个外角为150°，则它的底角为_______.

练习：

1、如图，若∠AEC=100°，∠B=45°，∠C=38°，则∠DFE等于( A )

A. 125° B.115° C. 110° D. 105°

2、如图， ∠1=______.

3、如图，则∠1=______,∠2=______,∠3=______,

4、已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是( C )

A.等腰直角三角形 B.一般的等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰钝角三角形

5、如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180°，那么与这个外角相邻的内角的度数为( C )

A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°

6、已知三角形的三个外角的度数比为2∶3∶4，则它的最大内角的度数( D ).

A. 90° B. 110° C. 100° D. 120°

例题1 ：若一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（　A ）

A． 三角形B ．六边形C ．五边形D ．四边形

例题2：下列说法错误的是（A ）

A ．边数越多，多边形的外角和越大B ．多边形每增加一条边，内角和就增加180 °

C ．正多边形的每一个外角随着边数的增加而减小D ．六边形的每一个内角都是120 °

例题3：一个多边形内角和与其中一个外角的总和为1360° 这个多边形的边数为9 .

例题4 ：一个多边形的每一个外角都是24 °，则此多边形的内角和（　B ）

A ．2160 °B ．2340 °C ．2700 °D ．2880 °

例题5： 已知：如图，在△ABC中， ∠A: ∠B: ∠C=3:4:5，BD、CE分别是AC、AB边上的高，相交于H，求 ∠BHC的度数。

例题6：如图（ 1）所示，△ABC中，∠ABC,∠ACB平分线交于点O，

求证： ∠BOC=90 °+1/2 ∠A

变式1：如图（2）所示，△ABC中，内角 ∠ABC和外角 ∠ACD的平分线交于点，

求证：∠BOC=1/2∠A

变式2：如图（3）所示，△ABC中，外角 ∠CBD, ∠BCE的平分线交于点，

求证：∠BOC=90 °-1/2∠A

分析：本题已知△ABC的内角平分线和外角平分线，从而想到可利用三角形角平分线的性质，三角形的内角和定理以及外角与内角的关系证题。

练习：

1．一个多边形内角和是1080 0 ，则这个多边形的边数为 （ B ）

A、 6 B、 7 C、 8 D、 9

2．一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是（ C ）

A、 四边形 B、 五边形 C、 六边形 D、 八边形

3．一个多边形的边数增加一倍，它的内角和增加( A )

A. 180° B. 360° C. (n-2)·180° D. n·180

4、若一个多边形的内角和与外角和相加是1800°，则此多边形是( B )

A、八边形 B、十边形 C、十二边形 D、十四边形

5、正方形每个内角都是 _90°_____，每个外角都是 __ _90°____。

6、多边形的每一个内角都等于150°，则从此多边形一个顶点出发引出的对角线有 9 条。

7、正六边形共有_ __9____条对角线，内角和等于___ _720°______，每一个内角等于 _ _120°_____。

8、内角和是1620°的多边形的边数是 _11_____。

9、如果一个多边形的每一外角都是24°，那么它是_ _ 15_ ___边形。

10、将一个三角形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和___ 180°或360°_。

11、一个多边形的内角和与外角和之比是5∶2，则这个多边形的边数为_ _8____。

12、一个多边形截去一个角后,所得的新多边形的内角和为2520°,则原多边形有_ 15或16或17___条边。

13.已知一个十边形中九个内角的和的度数是1290 0 ，那么这个十边形的另一个内角为 150 度.

镶嵌

例题1 ：装饰大世界出售下列形状的地砖：1正方形；2长方形；3正五边形；4正六边形。若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选用的地砖有（ B ）

A. 123B. 124C. 234D. 134

例题2：边长相等的下列两种正多边形的组合，不能作平面镶嵌的是( B　)

A.正方形与正三角形　　　B.正五边形与正三角形 C.正六边形与正三角形　　D.正八边形与正方形

练习：

1. 下列正多边中，能铺满地面的是（ B ）

A、正方形 B、 正五边形 C、 等边三角形 D、 正六边形

2. 下列正多边形的组合中，不能够铺满地面的是( D ).

A.正六边形和正三角形 B.正三角形和正方形 C.正八边形和正方形 D.正五边形和正八边形

3. 用正三角形和正十二边形镶嵌，可能情况有( B )种.

A、1 B、2 C、3 D、4

4. 某装饰公司出售下列形状的地砖：①正方形；②长方形；③正五边形；④正六边形.若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选用的地砖共有( C )种.

A、1 B、2 C、3 D、4

5. 小李家装修地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则小李不应购买的地砖形状是( C )

A、正方形 B、正六边形 C、正八边形 D、正十二边形

6. 用正三角形和正四边形作平面镶嵌，在一个顶点周围，可以有 _3__个正三角形和_ 2__个正四边形。

7. 如图，第n个图案中有白色地砖_ （4n+2）____块.

8.多边形的内角和与某一个外角的度数总和为，求多边形的边数。

分析：利用多边形的内角和公式来求，另外此题隐含边数为正整数这个条件。

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