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2.4.1函数的奇偶性 练习一、单选题1．设函数若是奇函数，则=A．-3 B．-9 C．-1 D．12．定义在上的函数，若，有下列两个结论：①若是偶函数，则是奇函数; ②若是偶函数,则是偶函数，则（ ）A．①②均正确 B．①②均错误C．①对②错 D．①错②对3．已知函数为偶函数，则（ ）A． B．C． D．4．设函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ）A． B． C． D．5．定义域为的函数满足条件：①，；②；③.则不等式的解集是（ ）A． B．C． D．6．若直角坐标平面内两点P、Q满足条件：①P、Q都在函数的图象上；②P、Q关于原点对称，则称点对是函数的“友好点对”，若定义域为R的函数存在“友好点对”，则实数m的取值范围是（ ）A． B．C． D．7．已知定义域为R的奇函数在单调递减，且，则满足的x取值范围是（ ）A． B．C． D．8．已知f(x)=(+)+2，f(a)=4，则f(-a)=（ ）A．-1 B．0 C．1 D．2二、多选题9．已知定义在上的奇函数，满足为偶函数，且在区间上单调递增，则（　　）A．的周期为2B．是函数的最小值C．函数的图象的一个对称中心为D．10．下列函数是偶函数的是（ ）A． B．C． D．11．已知函数，，则（ ）A．函数为偶函数B．函数为奇函数C．函数为奇函数D．为函数函数图像的对称轴12．若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（ ）A． B．C． D．三、填空题13．已知函数 是奇函数，若对于任意的，关于的不等式 恒成立，则实数的取值范围是 .14．已知是偶函数，周期是8，当时，，则 ．15．已知是定义域为的奇函数，且图像关于直线对称，当时，.对于闭区间，用表示在上的最大值，若正实数满足，则的值是 .16．函数是定义在R上偶函数，且当，，则 ．四、解答题17．函数对任意，，总有，当时，，且．（1）证明是奇函数；（2）证明在上是单调递增函数；（3）若，求实数的取值范围．18．下列函数中，哪些是奇函数，哪些是偶函数？(1)；(2)；(3)；(4)．19．已知是定义在上的奇函数，当时，.（1）求；（2）求时，的表达式．20．已知函数.(1)判断并证明函数的奇偶性；(2)判断当时函数的单调性，并用定义证明.21．已知函数.（1）求证：函数是奇函数；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.22．已知函数是定义在的奇函数，当时，(1)求函数在上的解析式；(2)求证：函数在上单调递减.参考答案：1．A【解析】首先根据函数是奇函数可得，又，据此即可求出结果.【详解】因为函数是奇函数，所以，又，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，以及利用分段函数求函数值，属于基础题.2．D【分析】根据函数奇偶性的定义分别去判断①②，即可得答案.【详解】对于①,是偶函数时，有，则是偶函数，故①错误;对于②，是偶函数时，，则是偶函数，故②正确，故选：D3．A【分析】由题知函数图像关于对称，，再依次判断各选项即可得答案.【详解】解：因为函数为偶函数，所以，函数图像关于对称，所以，，故A选项正确，C选项错误；对于B选项，由得图像关于对称，由已知无法得出，故错误；对于D选项， 由得图像关于对称，由已知无法得出，故错误；故选：A4．C【解析】求出，根据奇偶性得解.【详解】根据题意，当时，，则，又由函数为奇函数，则.故选：C.5．A【分析】由①得在为增函数，由②得是奇函数，从而得出在为增函数，利用单调性，即可求解不等式.【详解】①，，不妨设，则，在上为增函数；②，即，是奇函数，在上为增函数，③，不等式等价于或，得或.故选：A.【点睛】本题考查抽象函数不等式，利用函数的性质是解题的关键，属于中档题.6．B【解析】根据题意得在R上有解，令，则在上有解，再令，在上有解，按和分类讨论求在上的最小值，计算即可.【详解】根据题意得，在R上有解，即，令，则在上有解，即在上有解.再令，当且仅当取等号，在上有解.函数的对称轴为，当时，函数在上递减，在上递增，，解得；当时，函数在上递增，，解得.综上：.故选：B【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用，二次函数的最值问题，换元法和分类讨论思想的应用，属于中档题.7．B【分析】根据为奇函数可得函数在上也单调递减，分三种情况讨论，结合单调性分析即得解【详解】为奇函数，且在单调递减，，，且在上单调递减，可得或或，即或或，即故选：B8．B【解析】首先计算的值，再根据条件计算的值.【详解】，所以，因为，所以，故选：B9．CD【分析】由函数的奇偶性，单调性，对称性，周期性，对选项逐一判断，【详解】对于A，由为偶函数，则，而为奇函数，，得，即，故，的周期为，故A错误，对于B，在区间上单调递增，则在区间上单调递增，不是最小值，故B错误，对于C，为奇函数，周期为，故的图象的一个对称中心为，故C正确，对于D，的周期为，故，故选：CD10．ABD【分析】根据函数奇偶性的定义，逐一判断即可.【详解】A．，则为偶函数.B．，则为偶函数.C．，且定义域对称，则为奇函数．D．，则为偶函数.故选：ABD11．CD【分析】根据函数的的奇偶性定义可判断A,B,C，根据对称轴的性质判断D.【详解】对于A，，定义域为，所以函数为非奇非偶函数，故A错误；对于B, 定义域为，所以函数为非奇非偶函数，故B错误；对于C, ，定义域为，设，，所以函数为奇函数，故C正确；对于D,设定义域为，，所以为函数函数图像的对称轴，故D正确，故选:CD.12．BD【分析】由题意知“理想函数”是：定义域内为奇函数且为减函数，依次判断各选项即可得答案．【详解】由，可得为定义域上的奇函数，由时，恒有，可得为定义域上的减函数．对于A选项，在其定义域内不是单调函数，故A错误；对于B选项，，为奇函数，根据幂函数性质可知，在定义域上单调递增，则在定义域上单调递减，故B正确；对于C选项，定义域为，，为奇函数；，在上为增函数且，在上为减函数，在上为增函数，故C错误；对于D选项，，因，则函数的定义域为，，则为奇函数；令，设，则，又，同理，，，即，即．，即，在上是减函数．在上是减函数．故D正确．故选：BD．13．【分析】由已知结合奇函数的定义可求，然后结合不等式的恒成立与最值的相互关系及二次函数的性质可求.【详解】解：由奇函数的性质可得，恒成立，则，故恒成立，解得.此时为单调递减的奇函数，由不等式 恒成立，可得 恒成立，结合二次函数的性质可知，，所以.故答案为：14．2【分析】先求得，再由是偶函数，周期是8求解.【详解】解：因为当时，，所以，又因为是偶函数，周期是8，所以，故答案为：215．或【分析】由奇函数的性质及对称轴得函数的周期，再结合已知解析式作出函数图象，由于，由的定义及函数的单调性得出，，，求出与图象交点的横坐标（在上求出，由周期性易得其他值），然后分析推理得出时的值．【详解】因为是奇函数，且图象关于直线对称，所以，所以是周期函数，4是它的一个周期．由奇函数、周期性作出函数的图象，如图．当时，，最大值为1，因此的最大值为1，且，，由于，因此，在上递增，所以若，则，所以，所以，，一定有，否则，从而．由得或，所以图中，，当时，，满足题意，当时，，满足题意．综上，的值为或．16．【分析】利用偶函数的性质计算得解.【详解】由题得.故答案为：【点睛】方法点睛：奇函数的性质：；偶函数的性质：.17．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【分析】（1）先用赋值法求出，令，即可根据定义证明是奇函数；（2）利用定义法证明是上的增函数；（3）先把转化为，利用单调性解不等式即可．【详解】（1）令，则，解得，令，则，即，即，易知的定义域为，关于原点对称，所以函数是奇函数；（2）任取，，且，则，因为当时，，所以，则，即，所以函数是上的增函数；（3）由，得，，又由是奇函数得.由，得，因为函数是上的增函数，所以，解得，故实数的取值范围为．18．(1)奇函数(2)偶函数(3)奇函数(4)偶函数【分析】先看定义域是否关于原点对称，进而利用奇偶性定义来判断.【详解】（1）定义域为R，且，故为奇函数；（2）定义域为R，且，故为偶函数；（3）定义域为，关于原点对称，且，故是奇函数；（4）定义域为R，且，故为偶函数.19．（1）0; （2）.【分析】（1）根据奇函数的性质，在原点有意义，则;（2）由转化为，代入解析式，再根据奇函数的性质，即可求得解析式.【详解】（1）是上的奇函数，令，则即（2）设，则所以，又是上的奇函数，则，即所以，所以当时，.20．(1)函数为奇函数，证明见解析(2)在上为增函数，证明见解析【分析】（1）先判断奇偶性，根据奇函数的定义证明即可；（2）先判断单调性，根据函数单调性的定义法证明即可.【详解】（1）函数为奇函数.证明如下：∵定义域为R，又，∴为奇函数.（2）函数在为单调增函数.证明如下：任取，则∵，∴，，∴，即，故在上为增函数.21．（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）利用函数奇偶性的定义可证明结论成立；（2）利用函数单调性的定义证明出函数在区间上为增函数，可求得函数在区间上的最大值和最小值，分和两种情况讨论，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.【详解】（1）对任意的，，则，函数的定义域为，，所以，函数是奇函数；（2）任取、且，即，，，，，，所以，，所以，函数在区间上为增函数，当时，，.由于关于的不等式在上恒成立.①当时，则，即，解得或，此时；②当时，则，即，解得，此时.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：（1）定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；（2）判断与是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式（奇函数或偶函数）是否成立．22．(1)（）；(2)证明见解析.【分析】（1）根据函数为奇函数结合已知的解析式可求得结果；（2）根据函数单调性的定义证明即可.【详解】（1）设，则，因为当时，，所以，因为函数是定义在的奇函数，所以，所以，得（）；（2）证明：任取，且，则，因为，且，所以，，，所以，所以，即，所以函数在上单调递减.

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