无穷区间上的反常积分与无界函数的反常积分是可以互相转换的。 （1）不妨设 a > 0 a>0 a>0，则 ∫ a + ∞ f ( x ) d x ( x = 1 t ) = − ∫ 1 a 0 1 t 2 f ( 1 t ) d t ( g ( t ) = 1 t 2 f ( 1 t ) ) = ∫ 0 1 a g ( t ) d t , \begin{align*} &\int_a^{+\infty}f(x)dx \qquad (x=\frac{1}{t})\\ =& -\int_{\frac{1}{a}}^0\frac{1}{t^2}f(\frac{1}{t})dt\qquad (g(t)=\frac{1}{t^2}f(\frac{1}{t}))\\ =& \int_0^{\frac{1}{a}}g(t)dt, \end{align*} ==​∫a+∞​f(x)dx(x=t1​)−∫a1​0​t21​f(t1​)dt(g(t)=t21​f(t1​))∫0a1​​g(t)dt,​ 这就化成了无界函数的反常积分。 （2）设 ∫ a b f ( x ) d x \int_a^bf(x)dx ∫ab​f(x)dx是一个无界函数的反常积分， x = b x=b x=b是 f ( x ) f(x) f(x)的惟一奇点。令 t = b − a b − x t=\frac{b-a}{b-x} t=b−xb−a​，则 ∫ a b f ( x ) d x = ( b − a ) ∫ 1 + ∞ f ( b − b − a t ) d t t 2 , \int_a^bf(x)dx = (b-a)\int_1^{+\infty}f(b-\frac{b-a}{t})\frac{dt}{t^2}, ∫ab​f(x)dx=(b−a)∫1+∞​f(b−tb−a​)t2dt​, 等式右端就是一个无穷区间的反常积分。

以无穷区间的反常积分为例，设 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , + ∞ ) [a,+\infty) [a,+∞)有定义， lim ⁡ x → + ∞ f ( x ) = 0 \lim_{x\to +\infty}f(x)=0 limx→+∞​f(x)=0并不能保证 ∫ a + ∞ f ( x ) d x \int_a^{+\infty}f(x)dx ∫a+∞​f(x)dx收敛，如 ∫ 1 + ∞ 1 x p ( p ≤ 1 ) \int_1^{+\infty}\frac{1}{x^p}(p\leq 1) ∫1+∞​xp1​(p≤1)所示。 反之，若 ∫ a + ∞ f ( x ) d x \int_a^{+\infty}f(x)dx ∫a+∞​f(x)dx收敛，也不能保证 lim ⁡ x → + ∞ f ( x ) = 0 \lim_{x\to +\infty}f(x)=0 limx→+∞​f(x)=0，甚至无法保证 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , + ∞ ) [a,+\infty) [a,+∞)上有界。

证明： 设 f ( x ) f(x) f(x)在 [ 1 , + ∞ ) [1,+\infty) [1,+∞)按如下方式定义： f ( x ) = { n + 1 , x ∈ [ n , n + 1 n ( n + 1 ) 2 ] , 0 , x ∈ ( n + 1 n ( n + 1 ) 2 , n + 1 ) , n = 1 , 2 , ⋯   . f(x)=\begin{cases} n+1,\quad &x\in [n,n+\frac{1}{n(n+1)^2}],\\ 0,\quad &x\in (n+\frac{1}{n(n+1)^2}, n+1), \end{cases} \qquad n = 1,2,\cdots. f(x)={n+1,0,​x∈[n,n+n(n+1)21​],x∈(n+n(n+1)21​,n+1),​n=1,2,⋯. 那么对于任意 A > 1 A>1 A>1，总可以取自然数 n n n，使得 A ∈ [ n , n + 1 ) A\in [n,n+1) A∈[n,n+1)，由于 f ( x ) ≥ 0 f(x)\geq 0 f(x)≥0，因此 ∫ 1 n f ( x ) d x ≤ ∫ 1 A f ( x ) d x ≤ ∫ 1 n + 1 f ( x ) d x . \int_1^{n}f(x)dx\leq \int_1^{A}f(x)dx\leq \int_1^{n+1}f(x)dx. ∫1n​f(x)dx≤∫1A​f(x)dx≤∫1n+1​f(x)dx. 当 n → + ∞ n\to +\infty n→+∞时， lim ⁡ n → ∞ ∫ 1 n f ( x ) d x = lim ⁡ n → ∞ [ ∫ 1 2 f ( x ) d x + ∫ 2 3 f ( x ) d x + ⋯ + ∫ n − 1 n f ( x ) d x ] = lim ⁡ n → ∞ [ 1 1 ⋅ 2 + 1 2 ⋅ 3 + 1 3 ⋅ 4 + ⋯ + 1 ( n − 1 ) ⋅ n ] = lim ⁡ n → ∞ [ ( 1 − 1 2 ) + ( 1 2 − 1 3 ) + ( 1 3 − 1 4 ) + ⋯ + ( 1 n − 1 − 1 n ) ] = lim ⁡ n → ∞ ( 1 − 1 n ) = 1. \begin{align*} \lim_{n\to \infty}\int_1^nf(x)dx &= \lim_{n\to \infty}[\int_1^2f(x)dx+\int_2^3f(x)dx+\cdots+\int_{n-1}^nf(x)dx]\\ &= \lim_{n\to \infty}[\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots+\frac{1}{(n-1)\cdot n}]\\ &= \lim_{n\to \infty}[(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\cdots+(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})]\\ &= \lim_{n\to \infty}(1-\frac{1}{n}) = 1. \end{align*} n→∞lim​∫1n​f(x)dx​=n→∞lim​[∫12​f(x)dx+∫23​f(x)dx+⋯+∫n−1n​f(x)dx]=n→∞lim​[1⋅21​+2⋅31​+3⋅41​+⋯+(n−1)⋅n1​]=n→∞lim​[(1−21​)+(21​−31​)+(31​−41​)+⋯+(n−11​−n1​)]=n→∞lim​(1−n1​)=1.​ 同理也有 lim ⁡ n → ∞ ∫ 1 n + 1 f ( x ) d x = 1. \lim_{n\to \infty}\int_{1}^{n+1}f(x)dx = 1. n→∞lim​∫1n+1​f(x)dx=1. 由极限的夹逼性，有 ∫ 1 + ∞ f ( x ) d x = lim ⁡ A → + ∞ ∫ 1 A f ( x ) d x = 1 , \int_1^{+\infty}f(x)dx = \lim_{A\to +\infty}\int_1^Af(x)dx = 1, ∫1+∞​f(x)dx=A→+∞lim​∫1A​f(x)dx=1, 但 f ( x ) f(x) f(x)显然是无界的。 注：即使 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , + ∞ ) [a,+\infty) [a,+∞)连续（甚至 n n n次可微），也可仿照上例构造出使 ∫ a + ∞ f ( x ) d x \int_a^{+\infty}f(x)dx ∫a+∞​f(x)dx收敛而 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , + ∞ ) [a,+\infty) [a,+∞)无界的例子。

（1）设 ∫ a + ∞ f ( x ) d x \int_a^{+\infty}f(x)dx ∫a+∞​f(x)dx收敛，且 lim ⁡ x → + ∞ f ( x ) = A \lim_{x\to +\infty}f(x)=A limx→+∞​f(x)=A，证明 A = 0 A=0 A=0。 证明： 用反证法。 不妨设 A > 0 A>0 A>0，则对 ϵ = 1 2 A > 0 \epsilon=\frac{1}{2}A>0 ϵ=21​A>0， ∃ X > a \exists X>a ∃X>a， ∀ x > X \forall x>X ∀x>X，成立 ∣ f ( x ) − A ∣ < 1 2 A |f(x)-A|\frac{1}{2}A f(x)>21​A。由 ∫ a B f ( x ) d x = ∫ a X f ( x ) d x + ∫ X B f ( x ) d x > ∫ a X f ( x ) d x + 1 2 A ( B − X ) , \int_a^Bf(x)dx = \int_a^Xf(x)dx+\int_X^Bf(x)dx > \int_a^Xf(x)dx+ \frac{1}{2}A(B-X), ∫aB​f(x)dx=∫aX​f(x)dx+∫XB​f(x)dx>∫aX​f(x)dx+21​A(B−X), 可知 lim ⁡ B → + ∞ ∫ a B f ( x ) d x = + ∞ \lim_{B\to +\infty}\int_a^Bf(x)dx=+\infty limB→+∞​∫aB​f(x)dx=+∞，与 ∫ a + ∞ f ( x ) d x \int_a^{+\infty}f(x)dx ∫a+∞​f(x)dx收敛矛盾。

（2）设 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , + ∞ ) [a,+\infty) [a,+∞)上可导，且 ∫ a + ∞ f ( x ) d x \int_a^{+\infty}f(x)dx ∫a+∞​f(x)dx与 ∫ a + ∞ f ′ ( x ) d x \int_a^{+\infty}f'(x)dx ∫a+∞​f′(x)dx都收敛，证明 lim ⁡ x → + ∞ f ( x ) = 0 \lim_{x\to +\infty}f(x)=0 limx→+∞​f(x)=0。

证明： ∫ a + ∞ f ′ ( x ) d x = ∫ a + ∞ d ( f ( x ) ) = lim ⁡ x → + ∞ f ( x ) − f ( a ) \int_a^{+\infty}f'(x)dx = \int_a^{+\infty}d(f(x)) = \lim_{x\to +\infty}f(x) - f(a) ∫a+∞​f′(x)dx=∫a+∞​d(f(x))=x→+∞lim​f(x)−f(a) 由 ∫ a + ∞ f ′ ( x ) d x \int_a^{+\infty}f'(x)dx ∫a+∞​f′(x)dx的收敛性，可知 lim ⁡ x → + ∞ f ( x ) \lim_{x\to +\infty}f(x) limx→+∞​f(x)存在且有限，再利用上面的命题，得到 lim ⁡ x → + ∞ f ( x ) = 0 \lim_{x\to +\infty}f(x)=0 x→+∞lim​f(x)=0

（3）设 ∫ a + ∞ f ( x ) d x \int_a^{+\infty}f(x)dx ∫a+∞​f(x)dx收敛，且 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , + ∞ ) [a,+\infty) [a,+∞)一致连续，则 lim ⁡ x → + ∞ f ( x ) = 0 \lim_{x\to +\infty}f(x)=0 limx→+∞​f(x)=0。

证明： 用反证法。 若在所给的条件下，当 x → + ∞ x\to +\infty x→+∞时 f ( x ) f(x) f(x)不趋于0，则由极限定义，存在 ϵ 0 > 0 \epsilon_0>0 ϵ0​>0，对于任意给定的 X > a X>a X>a，存在 x 0 > X x_0>X x0​>X，使得 ∣ f ( x 0 ) ∣ ≥ ϵ 0 . |f(x_0)|\geq \epsilon_0. ∣f(x0​)∣≥ϵ0​. 又因为 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , + ∞ ) [a,+\infty) [a,+∞)上一致连续，故存在 δ 0 ∈ ( 0 , 1 ) \delta_0\in (0,1) δ0​∈(0,1)，使得对于任意 x ′ , x " > a x',x">a x′,x">a，只要 ∣ x ′ − x " ∣ < δ 0 |x'-x"| A > A 0 A'>A>A_0 A′>A>A0​，且有 ∣ ∫ A A ′ f ( x ) d x ∣ = ∣ ∫ x 0 − δ 0 2 x 0 + δ 0 2 f ( x ) d x ∣ > ϵ 0 2 δ 0 = ϵ 1 . |\int_A^{A'}f(x)dx|=|\int_{x_0-\frac{\delta_0}{2}}^{x_0+\frac{\delta_0}{2}}f(x)dx|>\frac{\epsilon_0}{2}\delta_0=\epsilon_1. ∣∫AA′​f(x)dx∣=∣∫x0​−2δ0​​x0​+2δ0​​​f(x)dx∣>2ϵ0​​δ0​=ϵ1​. 由Cauchy收敛原理， ∫ a + ∞ f ( x ) d x \int_a^{+\infty}f(x)dx ∫a+∞​f(x)dx不收敛，与假设条件矛盾，于是 lim ⁡ x → + ∞ f ( x ) = 0 \lim_{x\to +\infty}f(x)=0 limx→+∞​f(x)=0。

《数学分析》（第三版 上册）陈纪修， 於崇华，金路