数列极限说来其实都不陌生，但往往到了高数的这段内容的时候许多人就会觉得非常头疼了。

定义：设 { x n } \left\{x_{n}\right\} {xn​} 为一数列,如果存在常数 a a a, 对于任意给定的正数 ε \varepsilon ε ( 不论它多么小 )，总存在正整数 N N N, 使得 当 n > N n>N n>N 时, 有以下不等式成立： ∣ x n − a ∣ < ε (1) \left|x_{n}-a\right|xn​}的所有点都要落在以 a a a 为中心，上下距离均为 ε \varepsilon ε 的范围内。也就是下图所示。（原图地址）

注意：上图中的 N N N 只与 ε \varepsilon ε 相关。

定义的涵义也可以理解为： 如果 ε \varepsilon ε 不管有多小，这个 N N N 都可以取得足够大，使数列中第 N N N 项（不包括 N N N）之后的所有点都落在上述的范围内，那么这个数列就是收敛的。并且就收敛于上图中的 a a a.

由任意性很容易理解这样一个过程：如果把 ε \varepsilon ε 取得更小，那么 N N N 就得取得更大，这样才能保证上图中 N N N项之后的点都落在由 ε \varepsilon ε 的范围内。

下面这组图就描绘了这样的变化过程（图片源自）：

代数上的理解虽然抽象，但有时候反而更加直接。我们不妨考虑这样一个问题：如果给定一个特别小的 ε \varepsilon ε， 怎么求出它对应的 N N N?

根据定义，如果 ε \varepsilon ε 已经给定，那么这个 N N N 必须使得（1）式成立。

这里特别注意以下几个点和逻辑：

用这种方式再去理解教材的例1-3应该就会更加清楚了。

注：许多同学经常在这时忘记解不等式的问题。一定记着，此时如果弄不明白就一定要去回顾一下解不等式的基本方法，否则你会误将不会解不等式当成你不懂极限定义！！！同时注意我们这里要解的是一个整数的范围，而不是实数的范围。

书上有一些不太好猜的数列极限，此时冥想是必然无用的。直接画出来是最方便的：

例1： { 2 n − 1 3 n } \left\{\frac{2^{n}-1}{3^{n}}\right\} {3n2n−1​}

画出前100个点它长这样，那么很显然我们大胆猜它极限就是0，其后再去仔细证明。

例2: [ ( − 1 ) n + 1 ] n + 1 n \left[(-1)^{n}+1\right] \frac{n+1}{n} [(−1)n+1]nn+1​

这个看起来复杂些，直接画1000个点，仔细一看一直在震荡，于是大胆猜测它不收敛。

对于不会写程序的同学来说，绘图可以直接采用Excel实现。

如果会用一点程序，但又不想装IDE可以用一点在线编译环境，比如：轻量级IDE介绍（适用于python等多种语言）