设 y = f(x) 在 x0处 的某邻域内有定义，如果当自变量的增量趋近于零时，对应的函数值变化量 也趋近于零，即 ，则称函数 y = f(x) 在 x0 点连续。

        这个定义如何理解，看图就很明白了

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        如果函数在x0处连续（左图），那么无论是正还是负（x向右或向左变化），对应处的函数值会无限接近，因此函数值的变化量。从图上看就是曲线没有断开。

        如果函数在x0不连续（如右图），当 < 0时，从x0左侧无限逼近x0,从图上可以看到；但当>0时，从x0右侧无限逼近x0时，。这种情况下，函数仅左侧连续，曲线断开。

        函数的单侧连续定义：

        如果函数 y = f(x) 左极限 存在且等于  ，则称  f(x)在  x0点左连续；

        如果右极限 存在且等于  ，则称  f(x)于 x0 点右连续。

        函数在一点连续的充要条件是在该点处既左连续又右连续。

        区间连续性：如果函数在开区间(a,b)里每个点都连续，则函数在(a,b)中连续。如果函数在闭区间[a,b]中连续，则函数在(a,b)中连续,并且左端点a右连续，右端点b左连续。

        设函数  y = f(x)  在 x0点的某去心邻域内有定义。如果 f(x)有下列三种情形之一：

        1.在x0处没有定义；

        2.在x0处有定义，但极限不存在；

        3.在x0处有定义，极限存在 ，但 ；

        则函数y = f(x)在x0处不连续，称x0为f(x)的间断点，下面看几种不同类型的间断点：

        1. tanx的函数图像如下

                 以为例，函数在处没有定义，这个点是tanx的一个间断点，由于,因此这个点是tanx的无穷中断点。

 2.  图像

         此函数在x = 0处没有定义，在x = 0点的左右两侧，函数值不停地在[-1,1]之间震动，x = 0点是函数的震荡间断点。

3. 图像

         此函数在x = -1处无定义，但x = -1处左右极限都存在，且左右极限都等于-2，如果加上(-1,-2)这个点，函数就连续了，x = -1叫做函数的可去间断点。

4. 

        此函数在x = 0处有定义，左右极限都存在，但左右极限不相等，x = 0点叫做函数的跳跃间断点。 

        通常间断点分两类：

        第一类间断点（可去间断点、跳跃间断点），x0是 f(x)的间断点，左极限与右极限都存在（不一定相等）。

        第二类间断点（无穷间断点、振荡间断点）, x0是 f(x)的间断点，左极限与右极限中至少有一个极限不存在。

        第九讲 函数的连续性与函数的间断点 - 知乎