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什么是点积？

点积运算

向量与角的联系

向量和它本身

两个向量相乘，我们应该会想到如下场景：

但这个在现实生活中，用处不大。 但是其他乘法形式很有用。

最重要的是一种向量运算方式是内积。也成为点积。

叫点积，是因为我们通常表示为：在两个相乘的向量之间加个点。如图：

 从几何角度来看，这一运算很重要。使我们能够计算两个不同向量形成的角度。

更加准确的说，在欧几里得空间里，向量v 和 w 的内积满足以下特征：

（夹角是锐角，另外一边是钝角）

 请注意，两个向量的内积只是一个数字，不是向量。

因此，我们可以使用余弦函数的对立函数即反余弦函数，我们可以算这个角，它等于反余弦v和w的点积 除以 v和w的大小点积：

还可以理解为 反余弦v的标准化点积 w的标准化点积：

好了，我们要采用更好的方式来计算内积（点积）。

要计算v w ，我们可以将v 和 w的相应坐标相乘，然后相加：

例如：

那么结合之前学过的求角的等式，来看例子：

两个向量之间的点积和角之间的联系，会出现比较有趣的结果。

我们来看看，如图：

上图的x无论有多大，它小于等于1。

根据之前的等式：

我们知道：

再把它精简为下图，这就是著名的不等式：柯西-许西尔兹不等式（Cauchy - Schwarz Inequality）。

你会发现线性代数和普通数学中经常出现这一不等式。

假设 v 和 w 都不是零向量。如果为零向量，它们的点积会自动化为 0。

1.

如果下面等式成立：

 对之前的等式这意味着：

 所以，它们的方向指向同一方向：

2.

如果下面等式成立：

 对之前的等式这意味着：

所以，v 和 w 是相反方向：

3.

如果  等于0 呢？

那证明：

所以， v 和 w 互为直角：

 向量与它本身的点积是多少呢？如图：

这种情况下，两个相同的向量的角肯定是0度：

cos0 = 1，所以：

调整后：

 这样就多一个角度来看求向量的大小了。

程序员的一生时间90%是用在编程上，而剩余的10%是活在世界上。