对于\(v\in V\)，\(v\)的范数\(\|v\| = \sqrt{\langle v,v \rangle } \)

若\((z_{1},\ldots ,z_{n}) \in \mathbf{F}^{n}\)，则：

在\([-1,1]\)上的实值连续函数构成的向量空间中有：

范数的基本性质：

设\(v\in V\)

通常，处理范数的平方要比直接处理范数更容易。

两个向量\(u,v\in V\)是正交的，如果\( \langle u,v \rangle = 0\)

若\(u,v\)是\(\mathbf{R}^{2}\)中的非零向量，则：

其中\(\theta\)是\(u\)和\(v\)的夹角，显然在平面几何的意义下，正交意味着垂直。

设\(u\)和\(v\)是\(V\)中的正交向量，则\( \| u+v \|^{2} = \| u \|^{2} + \| v \|^{2} \)

设\(u,v\in V\)，且\(v\neq 0\)，我们想把\(u\)写成\(v\)的标量倍加上一个正交与\(v\)的向量\(w\)。如图1所示：

Figure 1: 正交分解

为了揭示如何将\(u\)写成\(v\)的标量倍加上一个正交于\(v\)的向量，令\(c\in \mathbf{F}\)表示一个标量，则： \[u = cv + (u-cv)\] 因此需要选取\(c\)使得\(v\)正交于\(u-cv\)，也就是说我们希望： \[0 = \langle u-cv,v \rangle = \langle u,v \rangle - c \| v \|^{2} \] 上式表明\(c\)应该是\[\langle u,v \rangle / \| v \|^{2} \] 从而 \[ u = \frac{\langle u,v \rangle }{\| v \|^{2} }v + (u - \frac{\langle u,v \rangle }{\| v \|^{2} } v) \] 上式把\(u\)写成了\(v\)的标量倍加上一个正交于\(v\)的向量。

设\(u,v\in V\)且\(v\neq 0\)，令\(c = \frac{\langle u,v \rangle }{\| v \|^{2} }, w = u - \frac{\langle u,v \rangle }{\| v \|^{2} } v \)则\(\langle w,v \rangle = 0 \)，且\(u = cv + w\)

设\(u,v\in V\)，则 \( | \langle u,v \rangle | \leq \| u \| \| v \| \)，等号成立当且仅当\(u,v\)之间存在标量倍的关系。

我们把\(u\)分解为： \[u = w + \frac{\langle u,v \rangle }{\| v \|^{2} } v\] 其中\(w\)正交与\(v\)，根据勾股定理，我们有：

柯西施瓦茨不等式的例子

若\(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n}\in \mathbf{R}\)，则：

若\(f,g\)均为\([-1,1]\)上的实值连续函数，则：

设\(u,v\in V\)，则\( \| u + v \| \leq \| u \| + \| v \| \)，等号成立当且仅当\(u,v\)之一是另一个的标量倍。

所以 \( \| u + v \| \leq \| u \| + \| v \| \)

设\(u,v\in V\)，则\( \| u + v \|^{2} + \| u-v \|^{2} = 2( \| u \|^{2} + \| v \|^{2}) \)