定义： − 1 = i i 2 = − 1 \sqrt{-1}=i\quad i^{2}=-1 −1 ​=ii2=−1 − 2 = 2 i \sqrt{-2}=\sqrt{2}i −2 ​=2 ​i 在数学里通常用i来代替sqrt(-1)。 幂运算：

复数就是形如(a+bi)的数。 z = a + b i z=a+bi z=a+bi 显然地，当a=0时则z为纯虚数，当b=0时z为实数。 所有复数的集合为C。相应地，有 R ⊂ ≠ C \mathbb R\underset{\neq}{\subset}\mathbb C R=⊂​C

复数z=a+bi，其共轭复数为a-bi。写作： z = a + b i z ˉ = a − b i z=a+bi\quad \={z}=a-bi z=a+bizˉ=a−bi 共轭复数有一些有趣的性质。 z ⋅ z ˉ = a 2 + b 2 z ·\={z}=a^{2}+b^{2} z⋅zˉ=a2+b2

建立一个平面直角坐标系，令 z = a + b i , 点 P = ( a , b ) z=a+bi,点P=(a,b) z=a+bi,点P=(a,b) 则 z 与 O B → 有着一些相似之处。 则z与\overrightarrow{OB}有着一些相似之处。 则z与OB 有着一些相似之处。 ∣ z ∣ = ∣ O B → ∣ = a 2 + b 2 |z|=|\overrightarrow{OB}|=\sqrt{a^2+b^2} ∣z∣=∣OB ∣=a2+b2 ​

如上图， z 的幅角即 θ , 记作 A r g z 如上图，z的幅角即\phase{\theta},记作Argz 如上图，z的幅角即θ ​,记作Argz Argz用弧度制表示，其值有无限个，为 θ + 2 n π ( n ∈ Z ) \theta + 2n\pi (n\in\mathbb Z) θ+2nπ(n∈Z) 其中，当n=0时称为幅角主值，记作 a r g z , a r g z ∈ ( − π , π ] argz\quad,argz\in (-\pi,\pi] argz,argz∈(−π,π] 当|z|=0时幅角没有意义。 a r g z = arctan ⁡ b a (a>0) argz=\arctan{\frac{b}{a}} \tag{a>0} argz=arctanab​(a>0) a r g z = π 2 (a=0,b>0) argz=\frac{\pi}{2}\tag{a=0,b>0} argz=2π​(a=0,b>0) a r g z = − π 2 (a=0,b