导数与偏导 |
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导数与偏导
1. 导数2 基本导数与微分表3 偏导数3.1 多变量函数3.2 偏导数
4 多变量函数的最小值条件5 参考资料
1. 导数
函数
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y=f(x) 的导函数
f
′
(
x
)
f'(x)
f′(x)的定义如下所示: 例如: 当
f
(
x
)
=
3
x
f(x) = 3x
f(x)=3x 时, 当
f
(
x
)
=
x
2
f (x) = x^2
f(x)=x2 时, 另一种表示方法: f ′ ( x ) = d y d x f'(x) = \frac{dy}{dx} f′(x)=dxdy 由于导函数 f ′ ( x ) f'(x) f′(x) 表示切线斜率,故:当函数f(x)在x = a处取得最小值时,f’(a) = 0。 2 基本导数与微分表(1) 𝑦 = 𝑐 𝑦 = 𝑐 y=c(常数) 则: 𝑦 ′ = 0 , 𝑑 𝑦 = 0 𝑦′=0,𝑑𝑦=0 y′=0,dy=0 (2) 𝑦 = x a 𝑦 = x^a y=xa ( a a a为实数) 则: 𝑦 ′ = a x a − 1 , d y = a x a − 1 d x 𝑦′ = ax^{a-1},dy = ax^{a-1}dx y′=axa−1,dy=axa−1dx (3) y = a x y= a^x y=ax 则: y ′ = a x ln a , d y = a x ln a 𝑑 𝑥 y′ = a^x\ln{a},dy=a^x\ln{a}𝑑𝑥 y′=axlna,dy=axlnadx 特例: ( e x ) ′ = e x , d ( e x ) = e x d x (e^x)' = e^x,d(e^x) = e^xdx (ex)′=ex,d(ex)=exdx (4) y = log a x y=\log_ax y=logax 则: 𝑦 ′ = 1 𝑥 ln 𝑎 , d y = 1 𝑥 ln 𝑎 d x 𝑦′ = \frac1{𝑥\ln𝑎},dy=\frac1{𝑥\ln𝑎}dx y′=xlna1,dy=xlna1dx 特例: 𝑦 = ln 𝑥 , y ′ = 1 x , d y = 1 x d x 𝑦 = \ln{𝑥},y′ = \frac1x,dy = \frac1xdx y=lnx,y′=x1,dy=x1dx (5) y = sin x y=\sin x y=sinx 则: y ′ = cos 𝑥 , d ( sin 𝑥 ) = cos x d x y' = \cos 𝑥,d(\sin 𝑥) = \cos xdx y′=cosx,d(sinx)=cosxdx (6) 𝑦 = cos 𝑥 𝑦 = \cos𝑥 y=cosx 则: 𝑦 ′ = − sin 𝑥 , 𝑑 ( cos 𝑥 ) = − sin 𝑥 𝑑 𝑥 𝑦′ = −\sin𝑥,𝑑(\cos𝑥) = −\sin𝑥𝑑𝑥 y′=−sinx,d(cosx)=−sinxdx (7) 𝑦 = tan 𝑥 𝑦 = \tan𝑥 y=tanx 则: 𝑦 ′ = 1 c o s 2 𝑥 = s e c 2 𝑥 , 𝑑 ( tan 𝑥 ) = sec 2 𝑥 𝑑 𝑥 𝑦′ = \frac1{cos^2𝑥} = sec^2𝑥,𝑑(\tan𝑥) = \sec^2𝑥𝑑𝑥 y′=cos2x1=sec2x,d(tanx)=sec2xdx (8) 𝑦 = cot 𝑥 𝑦 = \cot𝑥 y=cotx 则: 𝑦 ′ = − 1 s i n 2 𝑥 = − c s c 2 𝑥 , 𝑑 ( cot 𝑥 ) = − csc 2 𝑥 𝑑 𝑥 𝑦′ = -\frac1{sin^2𝑥} = −csc^2𝑥,𝑑(\cot𝑥) = −\csc^2𝑥𝑑𝑥 y′=−sin2x1=−csc2x,d(cotx)=−csc2xdx (9) 𝑦 = sec 𝑥 𝑦 = \sec𝑥 y=secx 则: 𝑦 ′ = sec 𝑥 tan 𝑥 , 𝑑 ( sec 𝑥 ) = sec 𝑥 tan 𝑥 𝑑 𝑥 𝑦′ = \sec𝑥\tan𝑥,𝑑(\sec𝑥) = \sec𝑥\tan𝑥𝑑𝑥 y′=secxtanx,d(secx)=secxtanxdx (10) 𝑦 = c s c 𝑥 𝑦 = csc𝑥 y=cscx 则: 𝑦 ′ = − csc 𝑥 cot 𝑥 , 𝑑 ( csc 𝑥 ) = − csc 𝑥 cot 𝑥 𝑑 𝑥 𝑦′ = −\csc𝑥\cot𝑥,𝑑(\csc𝑥) = −\csc𝑥\cot𝑥𝑑𝑥 y′=−cscxcotx,d(cscx)=−cscxcotxdx (11) 𝑦 = arcsin 𝑥 𝑦 = \arcsin𝑥 y=arcsinx 则: 𝑦 ′ = 1 1 − x 2 , 𝑑 ( arcsin 𝑥 ) = 1 1 − x 2 𝑑 𝑥 𝑦′ = \frac1{\sqrt{1-x^2}},𝑑(\arcsin𝑥) = \frac1{\sqrt{1-x^2}}𝑑𝑥 y′=1−x2 1,d(arcsinx)=1−x2 1dx (12) 𝑦 = arccos 𝑥 𝑦 = \arccos𝑥 y=arccosx 则: 𝑦 ′ = − 1 1 − x 2 , 𝑑 ( arccos 𝑥 ) = − 1 1 − x 2 𝑑 𝑥 𝑦′ = -\frac1{\sqrt{1-x^2}},𝑑(\arccos𝑥) = -\frac1{\sqrt{1-x^2}}𝑑𝑥 y′=−1−x2 1,d(arccosx)=−1−x2 1dx (13) 𝑦 = arctan 𝑥 𝑦 = \arctan𝑥 y=arctanx 则: 𝑦 ′ = 1 1 + x 2 , 𝑑 ( arctan 𝑥 ) = 1 1 + x 2 𝑑 𝑥 𝑦′ = \frac1{1+x^2},𝑑(\arctan𝑥) = \frac1{1+x^2} 𝑑𝑥 y′=1+x21,d(arctanx)=1+x21dx (14) 𝑦 = arccot 𝑥 𝑦 = \text{arccot}\space𝑥 y=arccot x 则: 𝑦 ′ = − 1 1 + x 2 , 𝑑 ( arccot x ) = − 1 1 + x 2 𝑑 𝑥 𝑦′ = -\frac1{1+x^2},𝑑(\text{arccot}\space x) =-\frac1{1+x^2} 𝑑𝑥 y′=−1+x21,d(arccot x)=−1+x21dx (15) 𝑦 = sh 𝑥 𝑦 = \sh𝑥 y=shx 则: 𝑦 ′ = ch 𝑥 , 𝑑 ( sh 𝑥 ) = ch 𝑥 𝑑 𝑥 𝑦′ = \ch𝑥,𝑑(\sh𝑥) = \ch𝑥𝑑𝑥 y′=chx,d(shx)=chxdx (16) 𝑦 = ch 𝑥 𝑦 =\ch𝑥 y=chx 则: 𝑦 ′ = sh 𝑥 , 𝑑 ( ch 𝑥 ) = sh 𝑥 𝑑 𝑥 𝑦′ = \sh𝑥,𝑑(\ch𝑥) = \sh𝑥𝑑𝑥 y′=shx,d(chx)=shxdx 3 偏导数 3.1 多变量函数有两个以上的自变量的函数称为多变量函数。 求导的方法也同样适用于多变量函数的情况。但是,由于有多个变量,所以必须指明对哪一个变量进行求导。在这个意义上,关于某个特定变量的导数就称为偏导数。 例如,让我们来考虑有两个变量 x、y 的函数 z = f(x, y)。只看变量 x, 将 y 看作常数来求导,以此求得的导数称为“关于 x 的偏导数”。 光滑的单变量函数 y = f (x) 在点 x 处取得最小值的必要条件是导函数在该点取值 0,这个事实对于多变量函数同样适用。例如对于有两个变量的函数,可以如下表示。 《深度学习的数学》 《AndrewNG机器学习笔记v5.4—黄海广》 |
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