可积的判定(充分条件,必要条件) |
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可积的充要条件,定义:积分和能否无限接近某一常数;
1. 必要条件
若函数
f
在 [a, b] 上可积,则 f 在 [a, b] 上必有界; 反证法,逆否命题,无界 ⇒ 不可积;
若 f 在 [a, b] 上无界,则对于 [a, b] 的任一分割 T,比存在属于 T 的某个小区间 Δk, f 在 Δk 上无界,在 i≠k 的各个小区间 Δk 上(区间内)任意取定 ξi ,并记: G=∣∣∣∣∑i≠kf(ξi)Δxi∣∣∣∣现对任意大(不是无穷大,但要足够大)的正数 M ,由于 f 在 Δk 上无界(正无穷,负无穷),故存在 ξk∈Δk ,使得: |f(ξk)|>M+GΔk 右边那一块是构造出来的,于是有: ∣∣∣∑inf(ξi)Δxi∣∣∣≥|f(ξk)Δk|−∣∣∣∣∑i≠knf(ξi)Δxi∣∣∣∣=M+G−G=M 这与 f f 在 [a, b] 上可积相矛盾,从而定理得证;可积函数一定有界,有界函数不一定可积(比如狄利克雷函数,全取有理数,全取无理数,趋于不同的值,1和0); 有界是可积的必要条件。 2. 充分条件 references一、可积的必要条件_百度文库 |
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