这篇博客将介绍一个任意矩阵的核和值域的关系，并由此说明矩阵秩的意义、子空间维数、子空间正交。

A ∈ C m × n A\in C^{m\times n} A∈Cm×n，矩阵的核，记作N(A)，N是nullity的首字母。 N ( A ) = { x ∣ A x = 0 , x ∈ C n } N(A)=\{x|Ax=0,x\in C^n \} N(A)={x∣Ax=0,x∈Cn} A的核，其实就是齐次方程组Ax=0的所有解（解空间）。下面介绍解的情况。

当rank(A)=r是，a_rr ≠ 0，因此x_r=0，所以x=[0,0,0,*,*,*]，r个0，n-r个任意值。

A ∈ C m × n A\in C^{m\times n} A∈Cm×n，矩阵的值域，记作R(A)，R是range的首字母。 R ( A ) = { y ∈ C m ∣ y = A x , x ∈ C n } R(A)=\{y\in C^m|y=Ax,x\in C^n \} R(A)={y∈Cm∣y=Ax,x∈Cn} 值域就是A的列向量组所能张成的最大空间。

可以从线性表出的角度去理解。注意，矩阵的分块乘法。 y = A x = ( α 1 , α 2 , ⋯   , α n ) ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) T = x 1 α 1 + x 2 α 2 + ⋯ + x n α n \begin{aligned} y &=Ax \\ &= (\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T\\ &= x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_n\alpha_n \end{aligned} y​=Ax=(α1​,α2​,⋯,αn​)(x1​,x2​,⋯,xn​)T=x1​α1​+x2​α2​+⋯+xn​αn​​

所谓子空间正交，就是子空间W1的所有向量和W2所有向量正交。 < y , x > = < A x , x > = ( A x ) H x = x H A H x ==(Ax)^Hx=x^HA^Hx ==(Ax)Hx=xHAHx 因此R(A)和N(AH)正交。

⊕ \oplus ⊕是直和，只有两个正交的空间才能进行直和运算。

直和：对于V1+V2中任何一个向量a=a1+a2，其中a1属于V1，a2属于V2，这种表示是唯一的，则称V1+V2为直和。

V 1 + V 2 = { x 1 + x 2 ∣ x 1 ∈ V 1 , x 2 ∈ V 2 } V 1 ∩ V 2 = { x ∣ x ∈ V 1 , x ∈ V 2 } V_1+V_2=\{x_1+x_2|x_1\in V_1,x_2\in V_2 \}\\ V_1\cap V_2=\{x|x\in V_1,x\in V_2 \} V1​+V2​={x1​+x2​∣x1​∈V1​,x2​∈V2​}V1​∩V2​={x∣x∈V1​,x∈V2​}

子空间维数定理： d i m ( V 1 ) + d i m ( V 2 ) = d i m ( V 1 + V 2 ) + d i m ( V 1 ∩ V 2 ) dim(V_1)+dim(V_2)=dim(V_1+V_2)+dim(V1\cap V_2)\\ dim(V1​)+dim(V2​)=dim(V1​+V2​)+dim(V1∩V2​) 可从三维空间理解。V1和V2是两个不相同的平面，各自维数为2，相加为4。和空间为整个三维空间，交空间为一条直线，即一维空间。

在第一节介绍了其次线性方程组Ax=0的解，下面介绍非齐次线性方程组Ax=b的解，其中 A ∈ C m × n A\in C^{m\times n} A∈Cm×n， A ˉ = [ A , b ] \bar A=[A,b] Aˉ=[A,b]是增广矩阵。