多项式方程x^2+1=0在实数中无解，为此我们需要形式地引进虚根{\rm i}，规定{\rm i}满足{\rm i}^2=-1。令z=a+{\rm i}b，其中a,b都是实数，我们称z为复数，其中a称为复数z的实部（real part），记为{\rm Re}z；b称为复数z的虚部（imaginary part），记为{\rm Im}z。如果a=0，则z称为纯虚数（purely imaginary），而实数可以看成虚部为0的复数。

通常我们以\mathbb{C}记复数全体，即

\mathbb{C}=\{z=a+{\rm i}b|a,b\in \mathbb{R}\}\\

我们约定将复数0+{\rm i}0记为0。

设z_1=a_1+{\rm i}b_1,z_2=a_2+{\rm i}b_2\in \mathbb{C}。我们定义复数的加法为

z_1+z_2=(a_1+a_2)+{\rm i}(b_1+b_2)\\

显然，\forall z=a+{\rm i}b\in \mathbb{C}，0+z=z。

如果令-z=(-a)+{\rm i}(-b)，则z+(-z)=0。因此我们定义复数的减法为

z_1-z_2=z_1+(-z_2)\\

我们定义复数的乘法为

z_1z_2=(a_1+{\rm i}b_1)(a_2+{\rm i}b_2)=a_1a_2+{\rm i}a_1b_2+{\rm i}a_2b_1+{\rm i}^2(b_1b_2)\\

将{\rm i}^2=-1代入，得

z_1z_2=(a_1a_2-b_1b_2)+{\rm i}(a_1b_2+a_2b_1)\\

显然复数的加法和乘法满足交换律、结合律和分配律。我们容易证明全体复数构成的集合\mathbb{C}在这样的定义的加法和乘法运算下构成一个域，称为复数域。事实上，我们只需要进一步说明每个非零复数在乘法运算下有唯一的逆元素即可。

引理1： 如果z=a+{\rm i}b\ne 0，则存在唯一的复数z^{-1}使得

z\cdot z^{-1}=1\\

证明： 令

z^{-1}=\frac{a}{a^2+b^2}-{\rm i}\frac{b}{a^2+b^2}\\

直接计算得z\cdot z^{-1}=1。而如果\omega也满足z\omega=1，两边乘z^{-1}即得\omega=z^{-1}。证毕。

利用引理1我们可以定义复数的除法：如果z_2\ne 0，则定义z_1除以z_2为

\frac{z_1}{z_2}=z_1\cdot z^{-1}_2\\

现在我们将 实数看做虚部为零的复数，上面关于复数的运算限制在实数上就是实数相应的运算。因此复数域\mathbb{C}可以看做实数域\mathbb{R}添加了方程x^2+1=0的根{\rm i}后的域扩张。

每一个复数z=a+{\rm i}b都唯一地对应一个有序实数对(a,b)，从而它唯一地对应平面\mathbb{R}^2中的一个点。由此我们得到\mathbb{C}到\mathbb{R}^2的一一对应：\mathbb{C} \leftrightarrow \mathbb{R}^{2}，即

z=a+{\rm i}b\leftrightarrow (a,b)\in \mathbb{R}^2\\

这一表示是实数用数轴表示的推广，即每个复数代表平面的一个点。全体复数构成的平面称为复平面，仍以\mathbb{C}表示。

平面上每一个点P=(a,b)代表一个以原点O为起点，P为终点的向量\overrightarrow{OP}。我们称其为向量的复数表示，或称为复向量，仍以z记之。由复数加法的定义不难看出复数的加法就是其代表的向量的加法。但与向量不同，复数还有乘法和除法。这些运算也有明确的几何意义。应当说明的是，利用这些运算，我们有可能将在实数域上建立的微积分的许多概念和方法推广到复数域上，或者从集合上说推广到平面上。而平面与数轴又有许多不同之处，因此我们将建立有别于微积分的理论。

回到复数的表示，我们将复数z+a+{\rm i}b对应的向量(a,b)的长度r=\sqrt{a^2+b^2}称为复数z的模，记为|z|。非零复向量z与x轴正向的夹角\theta称为z的辐角（argument），记为{\rm Arg}z。{\rm Arg}z是一个有方向的角，它是正半实轴按逆时针方向或顺时针方向旋转至向量z所在的射线的位置时所扫过的角的角度。沿逆时针为正，沿顺时针为负，由于一个向量按顺时针方向或按逆时针方向旋转一圈回到原始位置后仍是一个向量，因此{\rm Arg}z并不是唯一的，它是一个多值函数，不同值之间相差2\pi的整数倍。但如果z\ne 0，则存在唯一的一个角\theta_0\in [0,2\pi)，使得\theta_0是z的一个辐角。\theta_0称为z的主辐角，记为{\rm arg}z。有时为了方便起见，我们也将主辐角的取值区间改为(-\pi,\pi]（这在理论上并不会对研究复变函数造成困扰）。显然

{\rm Arg}z={\rm arg}z+2n\pi,n\in \mathbb{Z}\\

利用模和辐角，复数z=a+{\rm i}b可表示为

z=r(\cos\theta+{\rm i}\sin\theta)\\

这一表示称为复数的三角表示，如图所示：

其中r=\sqrt{a^2+b^2},

\theta=\left\{\begin{array}{ll}\arctan \frac{b}{a}, & z \text { 在第一象限, } \\\arctan \frac{b}{a}+\pi, & z \text { 在第二、第三象限, } \\\arctan \frac{b}{a}+\pi, & z \text { 在第四象限. }\end{array}\right.\\

利用复数的三角表示，我们可以得到如下引理：

引理2： 如果 z_{1}=r_{1}\left(\cos \theta_{1}+\mathrm{i} \sin \theta_{1}\right), z_{2}=r_{2}\left(\cos \theta_{2}+\mathrm{i} \sin \theta_{2}\right) ，则

z_{1} z_{2}=r_{1} r_{2}\left[\cos \left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)\right]\\\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}\left[\cos \left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)\right]\\

证明是简单的我们留给读者。以上引理表明：复数相乘时，模相乘，辐角相加；复数相除时，模相除，辐角相减。

另一方面，在微积分中对函数{\rm e}^x,\sin x和\cos x，我们有下面的级数展开式：

\mathrm{e}^{x}=1+\frac{x}{1 !}+\frac{x^{2}}{2 !}+\cdots+\frac{x^{n}}{n !}+\cdots, \\\sin x=x-\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}+\cdots+(-1)^{n} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) !}+\cdots, \\\cos x=1-\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{4}}{4 !}+\cdots+(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n) !}+\cdots,\\

其中x\in \mathbb{R}。

如果形式地令

\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}=1+\frac{\mathrm{i} x}{1 !}+\frac{(\mathrm{i} x)^{2}}{2 !}+\cdots+\frac{(\mathrm{i} x)^{n}}{n !}+\cdots\\

并将{\rm i}^2=-1代入，则我们得到

{\rm e}^{{\rm i}x}=\cos x+{\rm i}\sin x\\

这一公式称为Euler公式。读者需要注意的的是上述关于Euler公式的“推导”只是形式上的，关于严格的证明我们将在下一节中给出。

我们现在先不加证明的承认Euler公式是正确的，利用Euler公式，复数z=r(\cos \theta+{\rm i}\theta)可表示为

z=r{\rm e}^{{\rm i}\theta}\\

复数额这种表示称为复数的指数形式。

设

z_1=r_1{\rm e}^{{\rm i}\theta_1},z_2=r_2{\rm e}^{{\rm i}\theta_2},\\

则与通常指数函数的运算相同，我们有

z_{1} z_{2}=r_{1} r_{2} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)}, \quad \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)}\\

这一关系使得复数表示为指数形式时，乘方和开方运算更为方便。

例1： 设z=a+{\rm i}b，求复向量z按逆时针方向旋转\frac{\pi}{2}后所得的向量。

解 因为{\rm argi}=\frac{\pi}{2},|{\rm i}|=1，而

\operatorname{Arg} z_{1} z_{2}=\operatorname{Arg} z_{1}+\operatorname{Arg} z_{2}, \quad\left|z_{1} \cdot z_{2}\right|=\left|z_{1}\right| \cdot\left|z_{2}\right|\\

因此{\rm i}z={\rm i}(a+{\rm i}b)=-b+{\rm i}a即为所求向量。

例2 求解方程z^n=a，其中a\in\mathbb{C},n\in N。

解： 如果a=0，显然有z=0。设a=r_0{\rm e}^{{\rm i}(\theta_0+2k\pi)}，其中\theta_0\in [0,2\pi),k\in N,r_0\ne 0。如果z=r{\rm e}^{{\rm i}\theta}，则由方程z^n=a得

r^{n} \mathrm{e}^{\mathrm{i} n \theta}=r_{0} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\theta_{0}+2 k \pi\right)}\\

因此我们有

r=r_{0}^{\frac{1}{n}}, \quad \theta=\frac{\theta_{0}+2 k \pi}{n}, \quad k=0,1, \cdots, n-1\\

方程z^n=a有n个不同的根，它们是

r_{0}^{\frac{1}{n}} \mathrm{e}^{\mathrm{i}_{\mathrm{o}} \frac{\theta}{0}+2 k \pi}{n}, \quad k=0,1, \cdots, n-1\\

除了加和乘的运算外，复数还有另一种运算——共轭运算。

设z=a+{\rm i}b，定义：

\overline{z}=a-{\rm i}b\\

\overline{z}称为z的共轭复数，\overline{z}代表的点是复平面中点z关于实轴