1.3 三角函数的诱导公式 高中数学       人教A版2003课标版

      根据《普通高中新课程标准》的要求和教学内容的结构特征，依据学生学的心理规律和素质教育的要求，结合我校学生的认知水平，制定本节课的教学目标如下：

       1、知识目标：通过本小节的学习要使学生掌握三角函数的诱导公式、能正确运用这些公式求任意角的正弦、余弦、正切值，以及进行简单三角函数式的化简与恒等式的证明。

      2、能力目标：培养学生借助图形直观进行观察、感知、探究、发现的能力，进一步掌握数形结合思想；通过公式的应用，让学生了解未知到已知、简单到复杂的转化过程，从而提高分析问题和解决问题的能力。

      3、德育目标：使学生认识到了解任何新事物须从它较为熟悉的一面入手，利用转化的方法将新事物转化为我们熟知的事物，从而达到了解新事物的目的。此外，通过本节的学习培养学生严谨的科学态度、良好的思维习惯、不怕困难和勇于探索的精神。

      《三角函数的诱导公式》是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第三节，其主要内容是三角函数的诱导公式中的公式二至公式六。前面学生已经学习了诱导公式一和任意角的三角函数值的求法，在此基础上，继续学习这五组公式，体会发现过程，由未知到已知的转化过程，为以后的三角函数求值、化简、证明等打好基础，诱导公式在本章中起着承上启下的作用。如后续课中，画余弦曲线就是利用诱导公式把正弦曲线向左平移个长度单位而得到的。第三节共二课时，本教学设计为第一课：公式二、三、四。它既是三角函数定义、同角三角函数基本关系式及诱导公式一等知识的延续和拓展，又是推导诱导公五的理论依据。

    学生的学法分析：由于学生在尝试问题解决的过程中常会在新旧知识联系、策略选择、思想方法运用等方面遇到一定的困难，需要教师指导，故应帮助学生重温与问题解决有关的旧知，给予学生思考的时间和表达的机会，共同对（解题）过程进行反思等，在师生（生生）互动中，给予学生启发和鼓励，在心理上、认知上予以帮助。这样，在教法上确立的学法，能帮助学生更好地获得完整的认知结构，使学生思维、能力等得到和谐发展。

教学重点：（1）公式的发现，通过多媒体演示去探究发现公式；

                 （2）公式的应用，会用诱导公式解决简单三角函数的求值和化简。

教学难点：发现圆的几何性质（特别是对称性）与三角函数的联系，引导学生寻找解决问题的突破口。

      1、知识目标：通过本小节的学习要使学生掌握三角函数的诱导公式、能正确运用这些公式求任意角的正弦、余弦、正切值，以及进行简单三角函数式的化简与恒等式的证明。

      2、能力目标：培养学生借助图形直观进行观察、感知、探究、发现的能力，进一步掌握数形结合思想；通过公式的应用，让学生了解未知到已知、简单到复杂的转化过程，从而提高分析问题和解决问题的能力。

      3、德育目标：使学生认识到了解任何新事物须从它较为熟悉的一面入手，利用转化的方法将新事物转化为我们熟知的事物，从而达到了解新事物的目的。此外，通过本节的学习培养学生严谨的科学态度、良好的思维习惯、不怕困难和勇于探索的精神。

（1）用联系的观点，发现并证明诱导公式，体会把未知问题化为已知问题的方法。

（2）公式的应用，会用诱导公式解决简单三角函数的求值和化简。

引导学生从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中发现问题，提出研究方法。

教学

环节

教学程序

设计意图

创

设

问

题

启

迪

思

维

1、任意角的三角函数的定义：

2、诱导公式一及其结构特征：

①终边相同的角的同一三角函数值相等。

②把求任意角的三角函数值转化为求(0˚,360˚)的角的问题。

3、学生练习：试求下列三角函数的值。

sin1470˚=  ；sin1290°=      ；

教学欲设：第三题中求sin1290°，可能有绝大部分的同学由公式一，

sin1290°=sin(3×360°＋210°)=

sin210°。至此，已无法再演算下去了。这样，这样引入容易让学生接受。同时也激发了学生的求知欲，从而达到以旧带新，以旧拓新的目的，自然地引出本节课的课题，拉开了本节课教学的序幕。

教学

环节

教学程序

设计意图

启

发

诱

导

获

得

新

知

1、从最简单的入手，抓住主要矛盾解决：

引导学生观察下图并思考下列问题：

①210°能否用(180°+a)的形式表达？

(0°＜a＜90°)

②210°与30°角的终边的关系如何？

（互为反向延长线）

③设30°与210°的终边分别与单位圆交于点P与

P’，点P与P’的位置关系如何？

（关于原点对称）

④设点P(x,y)，则点P’的坐标怎么表示？

P’(-x, -y)

⑤sin210°与sin30°的值的关系如何？

①突出以问题为中心，让学生积极参与探究活动，引导学生发现210°与30°角的终边与单位圆的交点关于原点对称，借助三角函数的定

义，寻找sin210°与sin30°的值的关

系，使学生更容易接受。

②引导学生观察、思考，体验数与形的关系，感受单位圆的魅力，学会研究三角函数性质的一般方法，体会数形结合思想的重要作用，尝试自主探究的乐趣。

      2、运用迁移规律，引导学推导出公式：

启

发

诱

导

获

得

新

知

     对于任意角a，sina与sin(180°＋a)的关系如何呢？试说出你的猜想。

①a与(180°＋a)角的终边关系如何？

②a与(180°＋a)角的终边分别交单位圆于点P，P'，则点P与P'位置关系如何？设点P(x,y)，则点P’的坐标怎么表示？

③对任意角a，sina与sin(180°＋a)，cosa与

cos(180°＋a)关系如何的关系如何？

④对任意角a，tana与tan(180°＋a)关系如何？

⑤经过探索，你能把上述结论归纳成公式吗？其公式特征如何？(诱导公式二）　　

对于任意角a，sina与sin(180°＋a)的关系如何

呢？试说出你的猜想。

①激发学生做出猜想后，启发学生把特殊问题(求sin210°值)与一般问题进行类比，实现方法迁移；

②以问题引路，引导学生自主探

究。问题的设计具有层次性，由浅入深，层层深入，让学生体验学习的乐趣，同时也凸显学生学习的主体地位；

③把a扩展到任意角，通过观察计算机动态演示，使学生对“a的任意性”有了准确而深刻的认识，发现任意角a与(180°＋a)与单位圆交点关于原点的对称关系，把求角

(180°＋a)的三角函数值转化为角a的三角函数值，从而培养学生归纳推理的能力。

练习：求下列三角函数值：

    分析：本题是诱导公式二的巩固性练习题。求解时只须设法将所给角分解。

及时对诱导公式二进行巩固。求解时只须设法将所给角分解成π+a，a为锐角即可。

类

比

联

想

深

入

探

究

1．引导同学们自主完成诱导公式三的推导；

                    设计意图

     引导学生通过－a与a的对称性，得出公式三。

通过分组讨论让学生感受成功的喜悦！

       2．引导同学们自主完成诱导公式四的推导；

                     设计意图

    求sin120° 转化为求sin（180°－60°）的值引出问题；再提出：更一般地，怎样求sin（180°－a）的值

呢？。

    角180˚－a终边与角a的终边有什么关系？它们的三角函数值之间有什么关系？

引导学生寻找解决问题的突破口。学生运用迁移规律能够很容易完成探究任务；

观

察

归

纳

形

成

概

念

   (1)由学生填写表格，引导学生探究表格中每一行的数据哪些变了，哪些没有变？

      （填写数据的绝对值不变，符号发生了变化}

  (2)引导学生分析公式的结构特点：

的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号；（即：函数名不变，符号看象限）

                  设计意图

①通过分析数据，引导学生归纳出诱导公式的记忆方法。

②通过分析诱导公式的结构特征，强化学生对公式的理解和记忆。

反

馈

训

练

形

成

技

巧

(1)反馈训练：

(2)总结结论，强化认识：                                                               

以上步骤可以简化为：负化正；正化主；主化锐

教学欲设：在此先让学生去实践，一般情况下，1、2小题都能很快解决，只是到了第3、4小题时，变化稍复杂一些，同学们就会出现卡壳的现象，这时及时引导他们去进行角的转化，在实践中体会角的转化过程，体会诱导公式在解题过程中的应用，体会从未知到已知的化归思想。第3题说明：（分别与解题步骤同步同时）尽管较大，仍然把它看成锐角a，则－a为第四象限角，由诱导公式三，“负化正”为sin,再有诱导公式一“正化主”，注意去掉的是2k即12，而不能去掉13,由公式四“主化锐”为sin，恰为特殊角。通过练习体验公式的应用，熟练公式，掌握任意角三角函数的化简。

①在讲解例题时，不仅在于怎样

解，更在于为什么这样解，而及时对解题方法和规律进行概括，有利于发展学生的思维能力。

②让学生进一步深刻理解求任意角的三角函数式的一般程序和诱导公式的记忆规律，提高解决问题的能力。

总

结

反

思

提

高

认

识

      由学生尝试对本节课进行知识和数学思想方法两方面的小结。

（一）知识总结

诱导公式记忆口诀：

函数名不变  符号看象限

（二）思想方法总结

1、从特殊到一般的推理方法：

2、数形结合的思想：

引入单位圆，由对称性得出点的坐标，再与三角函数的定义联系起来，从而探究出了诱导公式。

3、化归思想：

把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，由未知转化为已知。

                   设计意图

      学生经过小结与自我评价，形成价值判断意识，条理所学知识，形成知识体系，发现知识规律及其结构特征，深化对诱导公式内涵和实质的理解，逐步养成良好的学习习惯。

1.3 三角函数的诱导公式

1.3 三角函数的诱导公式

      1、知识目标：通过本小节的学习要使学生掌握三角函数的诱导公式、能正确运用这些公式求任意角的正弦、余弦、正切值，以及进行简单三角函数式的化简与恒等式的证明。

      2、能力目标：培养学生借助图形直观进行观察、感知、探究、发现的能力，进一步掌握数形结合思想；通过公式的应用，让学生了解未知到已知、简单到复杂的转化过程，从而提高分析问题和解决问题的能力。

      3、德育目标：使学生认识到了解任何新事物须从它较为熟悉的一面入手，利用转化的方法将新事物转化为我们熟知的事物，从而达到了解新事物的目的。此外，通过本节的学习培养学生严谨的科学态度、良好的思维习惯、不怕困难和勇于探索的精神。

（1）用联系的观点，发现并证明诱导公式，体会把未知问题化为已知问题的方法。

（2）公式的应用，会用诱导公式解决简单三角函数的求值和化简。

引导学生从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中发现问题，提出研究方法。

教学

环节

教学程序

设计意图

创

设

问

题

启

迪

思

维

1、任意角的三角函数的定义：

2、诱导公式一及其结构特征：

①终边相同的角的同一三角函数值相等。

②把求任意角的三角函数值转化为求(0˚,360˚)的角的问题。

3、学生练习：试求下列三角函数的值。

sin1470˚=  ；sin1290°=      ；

教学欲设：第三题中求sin1290°，可能有绝大部分的同学由公式一，

sin1290°=sin(3×360°＋210°)=

sin210°。至此，已无法再演算下去了。这样，这样引入容易让学生接受。同时也激发了学生的求知欲，从而达到以旧带新，以旧拓新的目的，自然地引出本节课的课题，拉开了本节课教学的序幕。

教学

环节

教学程序

设计意图

启

发

诱

导

获

得

新

知

1、从最简单的入手，抓住主要矛盾解决：

引导学生观察下图并思考下列问题：

①210°能否用(180°+a)的形式表达？

(0°＜a＜90°)

②210°与30°角的终边的关系如何？

（互为反向延长线）

③设30°与210°的终边分别与单位圆交于点P与

P’，点P与P’的位置关系如何？

（关于原点对称）

④设点P(x,y)，则点P’的坐标怎么表示？

P’(-x, -y)

⑤sin210°与sin30°的值的关系如何？

①突出以问题为中心，让学生积极参与探究活动，引导学生发现210°与30°角的终边与单位圆的交点关于原点对称，借助三角函数的定

义，寻找sin210°与sin30°的值的关

系，使学生更容易接受。

②引导学生观察、思考，体验数与形的关系，感受单位圆的魅力，学会研究三角函数性质的一般方法，体会数形结合思想的重要作用，尝试自主探究的乐趣。

      2、运用迁移规律，引导学推导出公式：

启

发

诱

导

获

得

新

知

     对于任意角a，sina与sin(180°＋a)的关系如何呢？试说出你的猜想。

①a与(180°＋a)角的终边关系如何？

②a与(180°＋a)角的终边分别交单位圆于点P，P'，则点P与P'位置关系如何？设点P(x,y)，则点P’的坐标怎么表示？

③对任意角a，sina与sin(180°＋a)，cosa与

cos(180°＋a)关系如何的关系如何？

④对任意角a，tana与tan(180°＋a)关系如何？

⑤经过探索，你能把上述结论归纳成公式吗？其公式特征如何？(诱导公式二）　　

对于任意角a，sina与sin(180°＋a)的关系如何

呢？试说出你的猜想。

①激发学生做出猜想后，启发学生把特殊问题(求sin210°值)与一般问题进行类比，实现方法迁移；

②以问题引路，引导学生自主探

究。问题的设计具有层次性，由浅入深，层层深入，让学生体验学习的乐趣，同时也凸显学生学习的主体地位；

③把a扩展到任意角，通过观察计算机动态演示，使学生对“a的任意性”有了准确而深刻的认识，发现任意角a与(180°＋a)与单位圆交点关于原点的对称关系，把求角

(180°＋a)的三角函数值转化为角a的三角函数值，从而培养学生归纳推理的能力。

练习：求下列三角函数值：

    分析：本题是诱导公式二的巩固性练习题。求解时只须设法将所给角分解。

及时对诱导公式二进行巩固。求解时只须设法将所给角分解成π+a，a为锐角即可。

类

比

联

想

深

入

探

究

1．引导同学们自主完成诱导公式三的推导；

                    设计意图

     引导学生通过－a与a的对称性，得出公式三。

通过分组讨论让学生感受成功的喜悦！

       2．引导同学们自主完成诱导公式四的推导；

                     设计意图

    求sin120° 转化为求sin（180°－60°）的值引出问题；再提出：更一般地，怎样求sin（180°－a）的值

呢？。

    角180˚－a终边与角a的终边有什么关系？它们的三角函数值之间有什么关系？

引导学生寻找解决问题的突破口。学生运用迁移规律能够很容易完成探究任务；

观

察

归

纳

形

成

概

念

   (1)由学生填写表格，引导学生探究表格中每一行的数据哪些变了，哪些没有变？

      （填写数据的绝对值不变，符号发生了变化}

  (2)引导学生分析公式的结构特点：

的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号；（即：函数名不变，符号看象限）

                  设计意图

①通过分析数据，引导学生归纳出诱导公式的记忆方法。

②通过分析诱导公式的结构特征，强化学生对公式的理解和记忆。

反

馈

训

练

形

成

技

巧

(1)反馈训练：

(2)总结结论，强化认识：                                                               

以上步骤可以简化为：负化正；正化主；主化锐

教学欲设：在此先让学生去实践，一般情况下，1、2小题都能很快解决，只是到了第3、4小题时，变化稍复杂一些，同学们就会出现卡壳的现象，这时及时引导他们去进行角的转化，在实践中体会角的转化过程，体会诱导公式在解题过程中的应用，体会从未知到已知的化归思想。第3题说明：（分别与解题步骤同步同时）尽管较大，仍然把它看成锐角a，则－a为第四象限角，由诱导公式三，“负化正”为sin,再有诱导公式一“正化主”，注意去掉的是2k即12，而不能去掉13,由公式四“主化锐”为sin，恰为特殊角。通过练习体验公式的应用，熟练公式，掌握任意角三角函数的化简。

①在讲解例题时，不仅在于怎样

解，更在于为什么这样解，而及时对解题方法和规律进行概括，有利于发展学生的思维能力。

②让学生进一步深刻理解求任意角的三角函数式的一般程序和诱导公式的记忆规律，提高解决问题的能力。

总

结

反

思

提

高

认

识

      由学生尝试对本节课进行知识和数学思想方法两方面的小结。

（一）知识总结

诱导公式记忆口诀：

函数名不变  符号看象限

（二）思想方法总结

1、从特殊到一般的推理方法：

2、数形结合的思想：

引入单位圆，由对称性得出点的坐标，再与三角函数的定义联系起来，从而探究出了诱导公式。

3、化归思想：

把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，由未知转化为已知。

                   设计意图

      学生经过小结与自我评价，形成价值判断意识，条理所学知识，形成知识体系，发现知识规律及其结构特征，深化对诱导公式内涵和实质的理解，逐步养成良好的学习习惯。