废话不多说，直接上公式：

∫ − π π ( sin ⁡ n x ) ( sin ⁡ m x )   d x = 0 ， 其 中   n ≠ m ， n , m = 0 , 1 , 2 , ⋯ ∫ − π π ( sin ⁡ n x ) ( cos ⁡ m x )   d x = 0 ， 其 中   n ≠ m ， n , m = 0 , 1 , 2 , ⋯ ∫ − π π ( cos ⁡ n x ) ( cos ⁡ m x )   d x = 0 ， 其 中   n ≠ m ， n , m = 0 , 1 , 2 , ⋯ \begin{aligned} & \int_{-\pi}^{\pi} (\sin nx) (\sin mx)~ dx = 0 ，其中 ~ n \neq m，n,m=0,1,2,\cdots \\\\ & \int_{-\pi}^{\pi} (\sin nx) (\cos mx)~ dx = 0 ，其中 ~ n \neq m，n,m=0,1,2,\cdots \\\\ & \int_{-\pi}^{\pi} (\cos nx) (\cos mx)~ dx = 0 ，其中 ~ n \neq m，n,m=0,1,2,\cdots \\\\ \end{aligned} ​∫−ππ​(sinnx)(sinmx) dx=0，其中 n​=m，n,m=0,1,2,⋯∫−ππ​(sinnx)(cosmx) dx=0，其中 n​=m，n,m=0,1,2,⋯∫−ππ​(cosnx)(cosmx) dx=0，其中 n​=m，n,m=0,1,2,⋯​

其他公式： ∫ − π π ( cos ⁡ m x ) ( cos ⁡ m x )   d x = π ， 其 中   m = 0 , 1 , 2 , ⋯ \begin{aligned} & \int_{-\pi}^{\pi} (\cos mx) (\cos mx) ~dx = \pi，其中~m=0,1,2,\cdots \\\\ \end{aligned} ​∫−ππ​(cosmx)(cosmx) dx=π，其中 m=0,1,2,⋯​

∫ − π π ( sin ⁡ n x ) ( sin ⁡ m x )   d x =    − 1 2 [ ∫ − π π cos ⁡ ( n + m ) x   d x − ∫ − π π cos ⁡ ( n − m ) x   d x ]      （ 积 化 和 差 ） =    − 1 2 [ 1 n + m sin ⁡ ( n + m ) x ∣ − π π − 1 n − m sin ⁡ ( n − m ) x ∣ − π π ] =    0 + 0 =    0 \begin{aligned} & \int_{-\pi}^{\pi} (\sin nx) (\sin mx)~ dx \\\\ = ~~& -\frac{1}{2} [ \int_{-\pi}^{\pi} \cos(n+m)x ~dx - \int_{-\pi}^{\pi} \cos(n-m) x~dx ] ~~~~（积化和差）\\\\ = ~~ &-\frac{1}{2} [ \frac{1}{n+m} \sin(n+m)x \mid_{-\pi}^{\pi} - \frac{1}{n-m} \sin(n-m)x \mid_{-\pi}^{\pi}] \\\\ = ~~ & 0+0 \\\\ = ~~ & 0 \end{aligned} =  =  =  =  ​∫−ππ​(sinnx)(sinmx) dx−21​[∫−ππ​cos(n+m)x dx−∫−ππ​cos(n−m)x dx]    （积化和差）−21​[n+m1​sin(n+m)x∣−ππ​−n−m1​sin(n−m)x∣−ππ​]0+00​

∫ − π π ( cos ⁡ n x ) ( cos ⁡ m x )   d x =    1 2 [ ∫ − π π cos ⁡ ( n − m ) x   d x + ∫ − π π cos ⁡ ( n + m ) x   d x ]      （ 积 化 和 差 ） =    1 2 [ 1 n − m sin ⁡ ( n − m ) x ∣ − π π + 1 n + m sin ⁡ ( n + m ) x ∣ − π π ] =    0 + 0 =    0 \begin{aligned} & \int_{-\pi}^{\pi} (\cos nx) (\cos mx)~ dx \\\\ = ~~& \frac{1}{2} [ \int_{-\pi}^{\pi} \cos(n-m)x ~dx + \int_{-\pi}^{\pi} \cos(n+m) x~dx ] ~~~~（积化和差）\\\\ = ~~ &\frac{1}{2} [ \frac{1}{n-m} \sin(n-m)x \mid_{-\pi}^{\pi} + \frac{1}{n+m} \sin(n+m)x \mid_{-\pi}^{\pi}] \\\\ = ~~ & 0+0 \\\\ = ~~ & 0 \end{aligned} =  =  =  =  ​∫−ππ​(cosnx)(cosmx) dx21​[∫−ππ​cos(n−m)x dx+∫−ππ​cos(n+m)x dx]    （积化和差）21​[n−m1​sin(n−m)x∣−ππ​+n+m1​sin(n+m)x∣−ππ​]0+00​

∫ − π π ( cos ⁡ m x ) ( cos ⁡ m x )   d x =    ∫ − π π 1 2 [ 1 + cos ⁡ 2 m x ] d x =    1 2 [ ∫ − π π 1   d x + ∫ − π π cos ⁡ 0 x cos ⁡ 2 m x   d x ] =    1 2 ∫ − π π 1   d x =    π \begin{aligned} & \int_{-\pi}^{\pi} (\cos mx) (\cos mx)~ dx \\\\ = ~~ & \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{2} [1+\cos 2mx] dx\\\\ = ~~& \frac{1}{2} [\int_{-\pi}^{\pi} 1 ~dx + \int_{-\pi}^{\pi} \cos 0x \cos 2mx ~dx] \\\\ = ~~ & \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} 1 ~dx \\\\ = ~~ & \pi \end{aligned} =  =  =  =  ​∫−ππ​(cosmx)(cosmx) dx∫−ππ​21​[1+cos2mx]dx21​[∫−ππ​1 dx+∫−ππ​cos0xcos2mx dx]21​∫−ππ​1 dxπ​

其他公式同理

纯干货数学推导_傅里叶级数与傅里叶变换_Part1_三角函数的正交性：https://www.bilibili.com/video/BV1Et411R78v

考研必备数学公式大全：https://blog.csdn.net/zhaohongfei_358/article/details/106039576