备注

开映射不连续的其他例子 (来自作业):

和教材一致，记 Cantor 三分集为 \(P_0\), 其补集 (在区间 \([0, 1]\) 内的补集) 记为 \(G_0\), 其构造过程产生的区间记号如下：

对于任意 \(m \in \mathbb{Z}^*\), 考虑集合

容易看出，

两两不相交，是 \(G\) 的构成区间。将这些区间重新排列，得到新的开区间列 \(\{ J_t = (\alpha_t, \beta_t) \}_{t \in \mathbb{N}}\). 定义映射 \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) 如下：

那么 \(f\) 在集合 \(P\) 任何一点 \(x\) 都不连续：不妨设 \(x \in P_0\), 对任意的 \(\delta > 0\), 取 \(n_0 \in \mathbb{N}\) 使得 \(2 \cdot \left(\dfrac{1}{3} \right)^{n_0} < \delta\) 成立. 由于 \(x \in P_0 = \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} F_n\), 所以 \(x \in F_{n_0}\), 那么存在 \(k, 1 \leqslant k \leqslant 2^{n_0}\), 使得 \(x \in F_{n_0k}\). 闭区间 \(F_{n_0k}\) 的长度为 \(\left(\dfrac{1}{3} \right)^{n_0}\), 所以 \(F_{n_0k} \subset U(x, \delta)\). 那么根据 Cantor 三分集的构造，闭区间 \(F_{n_0k}\) 的中间 1/3 开区间， 记为 \(I\), 是 \(G\) 的构成区间，同时包含于 \(U(x, \delta)\). 取 \(I\) 中的一点 \(y\), 使得 \(f(y) > 1\), 那么 \(\lvert f(y) - f(x) \rvert > 1\), 从而 \(f\) 在 \(x\) 处不连续。

任取 \(\mathbb{R}\) 中开集 \(U\), 若 \(U \cap P \neq \emptyset\), 那么从上面的证明过程可以看出 \(f(U) = \mathbb{R}\). 若 \(U \cap P = \emptyset\), 那么 \(U \subset G\). 令 \(U\) 的构成区间为 \(\{ U_s \}_{s \in S}\), 那么每个 \(U_s\) 都包含于某个 \(J_t\) 中（见本章 第 24 题）。 由于

对一般的函数以及集合的并都是成立的，而 \(f\) 在每个 \(J_t\) 上都是开映射，所以 \(f(U) = f \left( \bigcup\limits_{s \in S} U_s \right) = \bigcup\limits_{s \in S} f(U_s)\) 是开集。 于是，我们就证明了 \(f\) 是开映射。

需要注意的是，将 \(f\) 的定义式 (3) 中的 \(\tan \left( \dfrac{1}{2} - \dfrac{\beta_t - x}{\beta_t - \alpha_t} \pi \right)\) 替换为任意的非平凡的开映射（例如单调连续函数），都可以得到开映射不连续的例子。