在给出 Rn 中紧集的精确定义前，我们需要介绍一些术语。对于集合 A⊂Rn ，当且仅当存在一个常数 M≥0 使得 A⊂D(0,M) ，那么就称该集合是有界的(bounded)，所以一个集合被邻域原点的某个邻域 D(0,M) 包住时，它就是有界的；换句话说，对于所有的 x∈A,∥x∥(1/n,2)|n=1,2,3,…} 。他们有开子覆盖。这一次因为 A 不是闭的，所以条件(ii)失败；点0不在集合 A 中。这个系列不是[0,1]的覆盖并且任何 [0,1] 的开覆盖必须有有限个开覆盖-上面的情况不可能存在这样的结论。

条件 (iii) 还有一个等价的表述，在某些情况下是非常有用的。

(iii)′ 对于 A 的每个无限子集，他们的聚点都在A中。

我们可以用闭集的方式来论述条件 (ii) ，这需要借助于 A 有限交的属性，我们说集合Ai有有限交的性质(finite intersection property)，当且仅当任意有限个 Ai 的交不为空，那么 (ii) 就等价于 (ii)′ 。

(ii)′ 所有满足有限交性质的一系列闭集都有一个包含 A 的非空交集。

我们会在附3的证明中看到，当(ii)用开覆盖的补表示时， (ii)′ 与 (ii) 的陈述是一样的。

例3： 确定下面集合的紧性

(a) {x∈R|x≥0} (b) [0,1]∪[2,3] (c) {(x,y)∈R2|x2+y20}∪{1,1/2,…,1/n,…} ，说明定理1的条件 (ii) 满足。

解： 令 {Ui} 是 A 的任意一个开覆盖，我们不惜说明它有一个有限的子覆盖。0位于某个开集中，我们说0∈U1，因为 U1 是开集且 1/n→0 ，存在一个 N 使得1/N,1/(N+1),…位于 U1 中，令 1∈U2,…,1/(N−1)∈UN ，那么 U1,…,UN 是一个有限的子覆盖，因为它是 Ui 的一个有限子系列并且它包含 A 的所有点。注意如果A是集合 1,1/2,… ，那么上面的论述就失效了。