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古诺模型（Cournot model）是博弈论中最具有代表性的模型之一，也是是纳什均衡最早的版本。它是法国经济学家古诺(Augustin Cournot)在1938年出版的《财富理论的数学原理研究》一书中最先提出的。而古诺的定义比纳什的定义早了一百多年，足以体现博弈论这样一个学科是深深扎根于经济学的土壤中的。从经济学的角度，它的研究价值在于古诺模型是介于两种极端状况完全竞争和垄断之间。在古诺生活的时代，大多数市场都只有少数的厂商经营，所以这个模型在当时是极具现实意义的。随着时间的推移，古诺模型也演变出了各种不同的版本。如果从博弈论的角度分析，有四种情况极具代表性：完全信息静态博弈的古诺模型、不完全信息静态博弈的古诺模型、完全且完美信息动态博弈的古诺模型、无限次重复博弈的古诺模型。 图1：竞争要素 图2：反应函数
一、经典古诺模型
古诺模型最初的形态是来自于经济学的。在经济学中，寡头的概念是指那种在某一产业只有少数几个卖者的市场组织形式。古诺模型对寡头具有如下的基本假设，所有厂家都知道市场销量、市场价格和利润，属于完全信息博弈： （1）假定一个产业只有两个寡头，每个寡头生产同质产品，并追求利润最大化； （2）两个寡头之间进行的是产量的竞争而不是价格竞争，且产品的价格依赖于两者生产的产品总量； （3）边际成本为常数； （4）面临相同的线性市场需求曲线； （5）寡头之间无勾结行为。 1.1边际成本为零时古诺模型的求解设市场反需求函数为 \(P=a-b Q, Q=Q_1+Q_2\) ，总成本 \(T C_i=0\) ，边际成本 \(MC_i=0, i=1,2\) ，求利润最大化下的 \(Q_1，Q_2，P， \pi_1，\pi_2\) 。 第一家企业的利闰 \(\pi_1\left(Q_1\right)=T R_1-T C_1=P Q_1-0=\left[a-b\left(Q_1+Q_2\right)\right] Q_1=a Q_1-b Q_1^2-b Q_1 Q_2\) (等利润线) 得出\(Q_1=\frac{a-b Q_2}{2 b}\) (寡头 1 的反应函数，对应的曲线是反应曲线) 同理可得寡头 2 的反应函数为\(Q_2=\frac{a-b Q_1}{2 b}\) \[\begin{aligned} & Q_1^*=\frac{a}{3 b}=\frac{1}{2+1} \frac{a}{b}, Q_2^*=\frac{a}{3 b}=\frac{1}{2+1} \frac{a}{b} \Rightarrow Q^*=\frac{2 a}{3 b} \\ & P^*=\mathrm{a}-\mathrm{b} Q^*=\mathrm{a}-\mathrm{b} \frac{2 a}{3 b}=\frac{1}{3} a \\ & \pi_1^*=P^* \times Q_1^*=\frac{1}{3} a \frac{a}{3 b}=\frac{1}{9} \frac{a^2}{b}=\frac{1}{(2+1)^2} \frac{a^2}{b} \end{aligned} \]同理: \[\pi_2^*=\frac{1}{9} \frac{a^2}{b}=\frac{1}{(2+1)^2} \frac{a^2}{b} \Rightarrow \pi^*=\frac{2}{9} \frac{a^2}{b} \] 图3：反应函数 图4：反应函数演示
【见上图4，利用实例数据采用产量反应函数分析: \[若P=12-\frac{12}{1200}\left(Q_{\mathrm{A}}+Q_{\mathrm{B}}\right), \]\(\mathrm{TC}=0\) (设 \(\mathrm{TFC}=0)\), \[\pi_{\mathrm{A}}=P Q_{\mathrm{A}}=12 Q_{\mathrm{A}}-\frac{1}{100} Q_{\mathrm{A}}^2-\frac{1}{100} Q_{\mathrm{A}} Q_{\mathrm{B}}, \]\[\frac{\partial \pi_{\mathrm{A}}}{\partial Q_{\mathrm{A}}}=12-\frac{1}{50} Q_{\mathrm{A}}-\frac{1}{100} Q_{\mathrm{B}}=0 \]得厂商 \(\mathbf{A}\) 产量反应函数: \(Q_{\mathrm{A}}=600-0.5 Q_{\mathrm{B}}\), 同理 \(\mathrm{B}\) 产量反应函数为: \(Q_{\mathrm{B}}=600-0.5 Q_{\mathrm{A}}\) 。 A: \(Q_{\mathrm{B}}=0, Q_{\mathrm{A}}=600\) B: \(Q_{\mathrm{A}}=600, Q_{\mathrm{B}}=300\) A: \(Q_{\mathrm{B}}=300, Q_{\mathrm{A}}=450\) B: \(Q_{\mathrm{A}}=450, Q_{\mathrm{B}}=375\) 竞争过程中 \(Q_{\mathrm{B}}\) 升, \(Q_{\mathrm{A}}\) 降, 最终双方利润达到最大化, 市场实现均衡。】 1.2边际成本为\(c\)时古诺博弈的求解设市场反需求函数为 \(P=a-b Q, Q=Q_1+Q_2\), 总成本 \(T C_i=c Q_i\) ，边际成本 \(M C_i=c, i=1,2\) ，求利润最大化。 第一家企业的利润 \(\pi_1\left(Q_1\right)=T R_1-T C_1=P Q_1-c Q_1=\left[a-b\left(Q_1+Q_2\right)\right] Q_1-c Q_1=(a-c) Q_1-b Q_1^2-b Q_1 Q_2 \text { (等利润线) } \) 利润最大化的一阶条件FOC: \[\frac{d \pi_1}{d Q_1}=(a-c)-2 b Q_1-b Q_2=0 \]推出:\(Q_1=\frac{(a-c)-b Q_2}{2 b}\) (寡头 1 的反应函数，对应的曲线是反应曲线) 同理可得寡头 2 的反应函数为: \[Q_2=\frac{(a-c)-b Q_1}{2 b} \]进而推出: \[\begin{aligned} Q_1^* & =\frac{a-c}{3 b}=\frac{1}{2+1} \frac{a-c}{b}, Q_2^*=\frac{a-c}{3 b}=\frac{1}{2+1} \frac{a-c}{b} \Rightarrow Q^*=\frac{2(a-c)}{3 b} \\ P^* & =\mathrm{a}-\mathrm{b} Q_1^*=\mathrm{a}-\mathrm{b} \frac{2(a-c)}{3 b}=\mathrm{a}-\frac{2}{3}(a-c) \\ \pi_1^* & =\left(P^*-\mathrm{c}\right) \times Q_1^*=\frac{1}{9} \frac{(a-c)^2}{b}=\frac{1}{(2+1)^2} \frac{(a-c)^2}{b} \end{aligned} \]同理: \[\pi_2^*=\left(P^*-\mathrm{c}\right) \cdot Q_2^*=\frac{1}{9} \frac{(a-c)^2}{b}=\frac{1}{(2+1)^2} \frac{(a-c)^2}{b} \Rightarrow \pi^*=\frac{2}{9} \frac{(a-c)^2}{b} \]1.3 \(n\)家厂商的古诺博弈假定古诺的寡头垄断模型中有\(n\) 个企业，令\(Q_i\)代表企业 \(i\)的产量，且 \(Q = Q_1 + Q_2· · · + Q_n\) 表示市场总产量，\(p\)表示市场出清价格，并假设反需求函数由 \(P(Q) = a-bQ\) 给出，并设企业\(i\)生产出 \(Q_i\) 的总成本 \(C_i(Q_i) = cQ_i\)，即没有固定成本，且边际成本为常数\(c\)，这里我们设\(c < a\)。根据古诺的假定，企业同时就产量进行决策。试写出该博弈的模型，并求出该博弈的纳什均衡；当 n 趋向于无穷时，将会发生什么情况? 对于第 \(i\) 个企业, 其目标为最大化自己的利益。 若达到纳什均衡, 则 \[\max \pi_i=\max _{Q_i \geq 0}(P(Q)-c) Q_{\mathrm{i}}=\max _{Q_i \geq 0}\left(a-bQ_{\mathrm{i}}-bQ_{-i}^*-c\right) Q_{\mathrm{i}} \]一阶条件为: \(Q_i^*=\frac{1}{2b}\left(a-bQ_{-i}^*-c\right)\) 由于 \(Q^*=Q_i^*+Q_{-i}^*\)，根据对称性，故所有的 \(Q_i^*\) 都相等, 即, \(Q^*=n Q_i^*\)，\(Q_{-i}^*=(n-1)Q_i^*\)，得 \[Q_i^*=\frac{a-c}{(n+1)b}\quad Q^*=n \frac{a-c}{(n+1)b}\\ \pi_i=\frac{1}{(n+1)^2} \frac{(a-c)^2}{b} \]当 \(n \rightarrow \infty\) 时, \[\lim _{n \rightarrow \infty}\pi_i=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{(n+1)^2} \frac{(a-c)^2}{b}=0 \]当企业个数无数多的时候, \(P \rightarrow c\), 即市场出清价格趋向于边际成本, 此时市场趋向于完全竞争市场。根据上面推到给出最终结果： \[\begin{aligned} & Q_1^*=Q_2^*=\cdots=Q_n^*=\frac{1}{n+1} \frac{a-c}{b}=\frac{a-c}{(n+1) b} \\ & \pi_1^*=\pi_2^*=\cdots=\pi_n^*=\frac{1}{(n+1)^2} \frac{(a-c)^2}{b} \end{aligned} \]1.4两家企业组成卡特尔的情况设市场反需求函数为 \(P=a-bQ\) ，求利润最大化。 将两家企业看成一家，边际收益 \(M R=a-2 b Q\) 。(来自结论: 边际收益与反需求函数的关系，截距一样，斜率是反需求函数的 2 倍)边际成本 \(M C_i=c, i=1,2\) 利润最大化的一阶条件是边际收益 \(=\) 边际成本，所以 \(a-2 b Q=c\) 可以推出 \(Q^*=\frac{a-c}{2 b}=\frac{1}{2} \frac{a-c}{b}\frac{2}{9} \frac{(a-c)^2}{b} \end{aligned} \] 所以双寡头被垄断成一家企业时，产量降低了，价格会高，而利润是增加了。 1.5两家企业统一决策，两家企业组成卡特尔的情况设市场反需求函数为 \(P=a-bQ\) ，求利润最大化。市场利润=两家企业总收益-两家企业总成本即， \[\begin{aligned} & \pi\left(Q_1, Q_2\right)=\left(T R_1+T R_2\right)-\left(T C_1+T C_2\right) \\ & =P *\left(Q_1+Q_2\right)-\left(c Q_1+c Q 2\right) \\ & =\left[a-b\left(Q_1+Q_2\right)\right] *\left(Q_1+Q_2\right)-\left(c Q_1+c Q 2\right) \\ & =a Q_1+a Q_2-c Q_1-c Q_2-b Q_1^2-2 b Q_1 Q_2-b Q_2^2 \end{aligned} \]推出 \(\frac{d \pi}{d Q_1}=a-c-2 b Q_1-2 b Q_2=0\) \[\frac{d \pi}{d Q_2}=a-c-2 b Q_2-2 b Q_1=0 \]进而推出: \[\begin{aligned} & Q^*=\frac{a-c}{2 b} \\ & P^*=a-b Q_1^*=a-b \frac{a-c}{2 b}=\frac{a+c}{2} \\ & \pi^*=(P-c) Q^*=a-b Q_1^*=\frac{1}{4} \frac{(a-c)^2}{b}>\frac{2}{9} \frac{(a-c)^2}{b} \end{aligned} \]古诺模型是在假定寡头具有完全信息的基础上导出的。在这一均衡中，每个寡头都可以准确猜测对手的产量，从而选择自己的最大产出。最重要的是，古诺均衡解在寡头无勾结的假定下求出的。如果考虑寡头之间相互勾结而达到均衡的情况，那么经过计算可以得到实际产出水平与实际价格上等于完全垄断条件下达到的产量与价格。 1.6 成本不同的古诺博弈设市场上有\(n\)个异质厂商，每个广商同时决定自身的产量 \(q_i(i=1,2, \ldots, n)\) 。则行业总产量为 \[Q=q_1+q_2+\cdots+q_n=\sum_{i=1}^n q_i \]行业总产量决定了市场价格\(P\)。反需求函数为 \(P=P(Q)\) ，且 \(P^{\prime}(Q) |
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