Newton-Euler方程用来描述刚体的运动：

刚体的线动量 p \mathbf p p的变化率等于所有外力的合数 F e x t F_{\mathrm{ext}} Fext​作用于刚体：

F e x t = d p d t \mathbf F_{\mathrm{ext}}=\frac{d \mathbf{p}}{d t} Fext​=dtdp​

构成刚体的每一个小质点之间的内力没有改变物体的动量，因为存在相等且相反的力，它们发生了相互抵消。

其中刚体的线性动量是刚体质量与其质心速度的乘积

p = m v C \mathbf{p} =m\mathbf{v}_C p=mvC​

欧拉第二定律指出，角动量 L \mathbf L L围绕固定在惯性参考系（通常是物体质心）中的点的变化率等于作用在该点M上的外部力矩（扭矩）的总和：

重点：先确定参考系，然后对这个参考系的一个固定点考虑

M = d L d t \mathbf{M}=\frac{d \mathbf{L}}{d t} M=dtdL​

注意仅当 M \mathbf{M} M 和 L \mathbf{L} L都相对于固定惯性系或平行于惯性系但固定在质心上的系计算时，上述公式才成立。 对于仅在两个维度上平移和旋转的刚体，这可以表示为：

M = r c m × a c m m + I α \mathbf{M}=\mathbf{r}_{\mathrm{cm}} \times \mathbf{a}_{\mathrm{cm}} m+\mathbf{I} \boldsymbol{\alpha} M=rcm​×acm​m+Iα

在经典力学中，欧拉旋转方程是描述刚体旋转的矢量准线性一阶常微分方程，使用角速度为 ω 的旋转参考系，其轴固定在物体上。它们的一般向量形式是

注意这里的参考系不是固定的，而是物体坐标系

I ω ˙ + ω × ( I ω ) = M \mathbf{I} \dot{\boldsymbol{\omega}}+\boldsymbol{\omega} \times(\mathbf{I} \boldsymbol{\omega})=\mathbf{M} Iω˙+ω×(Iω)=M

这是怎么来的呢？

在惯性参考系（下标“in”）中，欧拉第二定律指出角动量L的时间导数等于施加的扭矩：

d L i n d t = M i n \frac{d \mathbf{L}_{\mathrm{in}}}{d t}=\mathbf{M}_{\mathrm{in}} dtdLin​​=Min​

对于刚体，角动量和转动惯量之间的关系 I in \mathbf{I}_{\text{in}} Iin​给出为

L in  = I in  ω \mathbf{L}_{\text {in }}=\mathbf{I}_{\text {in }} \boldsymbol{\omega} Lin ​=Iin ​ω

在惯性系中，微分方程并不容易求解我的理解是求导后变为（惯性系是固定坐标系，没有 ω \boldsymbol{\omega} ω叉乘的这一项）：

M in  = I ˙ in  ω + I in  ω ˙ \mathbf{M}_{\text {in }}=\mathbf{\dot I}_{\text {in }} \boldsymbol{\omega}+\mathbf{I}_{\text {in }} \boldsymbol{\dot \omega} Min ​=I˙in ​ω+Iin ​ω˙

其中的 I i n \mathbf{I}_{in} Iin​随着旋转变换，计算量变大（可能需要复杂的积分）。相反，可以更改为固定在旋转体中的坐标系，其中惯性矩张量是恒定的。使用诸如质心的参考系，这时候不需要对 I in \mathbf{I}_{\text{in}} Iin​求导。 在任何物体参考系中，方程就可以变为

( d L d t ) rot  + ω × L = M \left(\frac{d \mathbf{L}}{d t}\right)_{\text {rot }}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{L}=\mathbf{M} (dtdL​)rot ​+ω×L=M

因为物体坐标系的坐标轴也在发生运动，所以产生了 ω \boldsymbol{\omega} ω叉乘的一项【原理可以参考我的另一篇文章：刚体运动学-速度和加速度的表示方法（连体坐标系和世界坐标系）】，请参阅旋转参考系中的时间导数。 旋转和惯性坐标系中扭矩的矢量分量由下式关联： M in  = Q M \mathbf{M}_{\text {in }}=\mathbf{Q} \mathbf{M} Min ​=QM， Q \mathbf{Q} Q 可以理解是旋转张量（旋转矩阵也行？），与角速度矢量相关的正交张量对于任何向量 u \boldsymbol{u} u： ω × u = Q ˙ Q − 1 u \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{u}=\dot{\mathbf{Q}} \mathbf{Q}^{-1} \boldsymbol{u} ω×u=Q˙​Q−1u

现在用 L = I ω \mathbf{L}=\mathbf{I} \boldsymbol{\omega} L=Iω替换前面的式子并在旋转坐标系中获取时间导数，同时意识到粒子位置和惯性张量（转动惯量）不依赖于时间。这导致了欧拉方程的一般向量形式，该方程在这样的框架中是有效的：

I ω ˙ + ω × ( I ω ) = M \mathbf{I} \dot{\boldsymbol{\omega}}+\boldsymbol{\omega} \times(\mathbf{I} \boldsymbol{\omega})=\mathbf{M} Iω˙+ω×(Iω)=M

如果把转动惯量分解到惯性主轴上(这时候转动惯量会是一个对角矩阵)，会简化为三个方程：

L = L 1 e 1 + L 2 e 2 + L 3 e 3 = ∑ i = 1 3 I i ω i e i \mathbf{L}=L_{1} \mathbf{e}_{1}+L_{2} \mathbf{e}_{2}+L_{3} \mathbf{e}_{3}=\sum_{i=1}^{3} I_{i} \omega_{i} \mathbf{e}_{i} L=L1​e1​+L2​e2​+L3​e3​=i=1∑3​Ii​ωi​ei​

分量形式是：

I 1 ω ˙ 1 + ( I 3 − I 2 ) ω 2 ω 3 = M 1 I 2 ω ˙ 2 + ( I 1 − I 3 ) ω 3 ω 1 = M 2 I 3 ω ˙ 3 + ( I 2 − I 1 ) ω 1 ω 2 = M 3 \begin{array}{l} I_{1} \dot{\omega}_{1}+\left(I_{3}-I_{2}\right) \omega_{2} \omega_{3}=M_{1} \\ I_{2} \dot{\omega}_{2}+\left(I_{1}-I_{3}\right) \omega_{3} \omega_{1}=M_{2} \\ I_{3} \dot{\omega}_{3}+\left(I_{2}-I_{1}\right) \omega_{1} \omega_{2}=M_{3} \end{array} I1​ω˙1​+(I3​−I2​)ω2​ω3​=M1​I2​ω˙2​+(I1​−I3​)ω3​ω1​=M2​I3​ω˙3​+(I2​−I1​)ω1​ω2​=M3​​

M k M_k Mk​是施加扭矩的组成部分， I k I_k Ik​是转动惯量的对角线的分量， ω k ω_k ωk​是角速度的分量。

参考：