目录

总体

简单随机样本

直方图

样本分布函数

样本函数及其概率分布

𝜒2分布

𝑡分布

𝐹分布

        总体：

                研究对象的全体

        个体：

                总体中的每一个元素

        总体容量：

                总体中包含的个体总数，总体容量有限叫做有限总体，否则叫做无限总体

        总体的分布函数与数字特征：

                总体满足的分布函数𝐹(𝑥)叫做总体的分布函数，总体X的数字特征叫做总体的数字特征

        总体的分布：

                离散型总体的概率分布、连续型总体的概率密度

        抽样：

                从总体抽取若干个个体的过程

        样本：

                抽样结果得到的一组观测值称为样本

        样本容量：

                样本中所含个体的数量

        简单随机样本：

                随机的、独立的抽样得到的样本称为简单随机样本（简称样本），总体容量很大且样本容量很小时可近似看作简单随机样本

        样本特点：

                1）样本𝑋1,𝑋2,…,𝑋𝑛的联合分布函数:

                2）离散型总体样本𝑋1,𝑋2,…,𝑋𝑛的联合概率分布:

                3）连续型总体样本𝑋1,𝑋2,…,𝑋𝑛的联合概率密度:

        （略）

                表示观测值小于𝑥𝑖的概率（频率）

        样本分布函数特点：

        样本函数：

                来自总体X的样本𝑋1,𝑋2,…,𝑋𝑛满足的函数

                称为样本函数，是一个随机变量

        样本函数观测值：

                称为样本函数的观测值

        统计量：

                𝑔(𝑋1,𝑋2,…,𝑋𝑛)中不含有未知参数，称这种样本函数为统计量

        常用统计量：

                1）样本均值：

                      期望：

                      方差：

                2）样本方差：

                      期望：

                      方差：

                3）样本标准差：

                4）样本k阶原点矩：

                      样本一阶原点矩就是样本均值

                5）样本k阶中心矩：

                      样本一阶中心距等于0

                      样本二阶中心矩与样本方差的关系：

                6）样本最值：

                      分布函数：

        服从正态分布的样本函数：

                𝑋1,𝑋2,…,𝑋𝑛是来自正态总体𝑁(𝜇,𝜎^2)的样本

                1）由中心极限定理及样本均值的定义即可推出

                2）

                来自标准正态总体的n个样本的平方和构成的统计量服从自由度为n的𝜒2分布

        𝜒2分布性质:

                1）期望、方差：

                2）可加性

                      若：

                       则：

                3）当n很大时：

                       近似服从标准正态分布，即𝜒2(𝑛)近似于𝑁(𝑛,2𝑛)

                4）上𝛼分位点：

                       其中：

                      称为上𝛼分位点

                5）来自总体𝑁(𝜇,𝜎^2)的样本𝑋1,𝑋2,…,𝑋𝑛，则随机变量:

                      （由正态分布标准化、𝜒2分布定义）

                6）来自总体𝑁(𝜇,𝜎^2)的样本𝑋1,𝑋2,…,𝑋𝑛，则:

                      𝑋与𝑆2相互独立（由上一条性质、样本方差定义，含有𝑋𝑖−𝑋时自由度减一）

                𝑋~𝑁(0,1)，𝑌~𝜒2(𝑛)，X与Y相互独立，则随机变量:

                服从自由度为𝑛的𝑡分布，记作:

        𝑡分布性质：

                1）当n很大时，𝑡(𝑛)近似服从标准正态分布

                2）𝑃{𝑡>𝑡𝛼(𝑛)}=𝛼，𝑡𝛼(𝑛)称为上𝛼分位点

                3）来自总体𝑁(𝜇,𝜎^2)的样本𝑋1,𝑋2,…,𝑋𝑛，随机变量

                      （由𝜒2分布性质6、服从正态分布的样本函数）

                4）来自总体𝑁(𝜇1,𝜎^2)的样本𝑋1,𝑋2,…,𝑋𝑛1，来自总体𝑁(𝜇2,𝜎^2)的样本𝑌1,𝑌2,…,𝑌𝑛2，两组样本相互独立，则:

                      其中：

                𝑋~𝜒2(𝑛1),𝑌~𝜒2(𝑛2)，𝑋,𝑌相互独立，则:

                服从第一自由度为𝑛1，第二自由度为𝑛2的𝐹分布，记作:

        𝐹分布性质：

                1）若𝐹~𝐹𝑛1,𝑛2

                      则:

                2）上𝛼分位点

                      则：

                      称为上𝛼分位点

                3）来自总体𝑁(𝜇1,𝜎1^2)的样本𝑋1,𝑋2,…,𝑋𝑛1，来自总体𝑁(𝜇2,𝜎2^2)的样本𝑌1,𝑌2,…,𝑌𝑛2，两组样本相互独立，则:

                      （由正态分布标准化、𝜒2分布定义）

                4）来自总体𝑁(𝜇1,𝜎1^2)的样本𝑋1,𝑋2,…,𝑋𝑛1，来自总体𝑁(𝜇2,𝜎2^2)的样本𝑌1,𝑌2,…,𝑌𝑛2，两组样本相互独立，则:

                      （由𝜒2分布性质6）