记忆方法： 平行的相等，交叉的是相反数。 导数公式的理解：对于 f ( z ) = u + i v f(z)=u+iv f(z)=u+iv， d f ( z ) d z = ∂ f ( z ) ∂ x ∂ x ∂ z \frac{\mathrm{d}f(z)}{\mathrm{d}z}=\frac{\partial f(z)}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial z} dzdf(z)​=∂x∂f(z)​∂z∂x​，其中 z = x + i y z=x+iy z=x+iy，故 ∂ z ∂ x = 1 \frac{\partial z}{\partial x}=1 ∂x∂z​=1， ∂ x ∂ z = 1 \frac{\partial x}{\partial z}=1 ∂z∂x​=1，而 ∂ f ( z ) ∂ x = u x + i v y \frac{\partial f(z)}{\partial x}=u_x+iv_y ∂x∂f(z)​=ux​+ivy​，由此得出 d f ( z ) d z = u x + i v x \frac{\mathrm{d}f(z)}{\mathrm{d}z}=u_x+iv_x dzdf(z)​=ux​+ivx​。又 d f ( z ) d z = ∂ f ( z ) ∂ x ∂ y ∂ z \frac{\mathrm{d}f(z)}{\mathrm{d}z}=\frac{\partial f(z)}{\partial x}\frac{\partial y}{\partial z} dzdf(z)​=∂x∂f(z)​∂z∂y​，其中 ∂ y ∂ z = 1 ∂ z ∂ y = 1 i \frac{\partial y}{\partial z}=\frac{1}{\frac{\partial z}{\partial y}}=\frac{1}{i} ∂z∂y​=∂y∂z​1​=i1​，故 d f ( z ) d z = 1 i ( u y + i v y ) = 1 i u y + v y \frac{\mathrm{d}f(z)}{\mathrm{d}z}=\frac{1}{i}(u_y+iv_y)=\frac{1}{i}u_y+v_y dzdf(z)​=i1​(uy​+ivy​)=i1​uy​+vy​。 初等函数的解析性： (1) 指数函数： e z = e x + i y = e x ( cos ⁡ y + i sin ⁡ y ) e^z=e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y) ez=ex+iy=ex(cosy+isiny)，满足 ∣ e z ∣ = e x |e^z|=e^x ∣ez∣=ex， Arg ⁡ e z = y + 2 k π \operatorname{Arg} e^z=y+2k\pi Argez=y+2kπ，并且 e z ≠ 0 e^z\ne 0 ez=0。它是以 2 k π i 2k\pi i 2kπi为周期的周期函数。指数函数在复平面内处处解析，其导数就是它本身。 (2) 对数函数： Ln ⁡ z = ln ⁡ ∣ z ∣ + i Arg ⁡ z \operatorname{Ln} z=\ln |z|+i\operatorname{Arg}z Lnz=ln∣z∣+iArgz，为多值函数，其任两个值的差为 2 k π i 2k\pi i 2kπi。 Ln ⁡ z \operatorname{Ln} z Lnz的主值记为 ln ⁡ z \ln z lnz，定义为 Arg ⁡ z \operatorname{Arg}z Argz取主值 arg ⁡ z \arg z argz时的值（注意 arg ⁡ z ∈ ( − π , π ] \arg z\in(-\pi,\pi] argz∈(−π,π]），即 ln ⁡ z = ln ⁡ ∣ z ∣ + i arg ⁡ z \ln z=\ln|z|+i\arg z lnz=ln∣z∣+iargz。因此， Ln ⁡ e x + i y = x + i ( y + 2 k π ) \operatorname{Ln} e^{x+iy}=x+i(y+2k\pi) Lnex+iy=x+i(y+2kπ)， ln ⁡ e x + i y = x + i ( y + 2 m π ) \ln e^{x+iy}=x+i(y+2m\pi) lnex+iy=x+i(y+2mπ)，其中 m m m是一个合适的整数使得 y + 2 m π ∈ ( − π , π ] y+2m\pi\in(-\pi,\pi] y+2mπ∈(−π,π]。 Ln ⁡ z \operatorname{Ln} z Lnz的各个分支在除去原点与负实轴外的复平面内处处连续、处处解析，并且 ( Ln ⁡ z ) ′ = 1 z (\operatorname{Ln} z)'=\frac{1}{z} (Lnz)′=z1​。这个导数是通过反函数的求导公式得到的。 (3) 幂函数： z b = e b Ln ⁡ z z^b=e^{b\operatorname{Ln} z} zb=ebLnz。当 b b b为整数时是单值的；当 b b b为有理数 p q \frac{p}{q} qp​（ p , q p,q p,q为互质整数， q > 0 q>0 q>0）时有 q q q个值；当 b b b为无理数时有无穷多个值。判断的方法为考虑 e 2 k π i b e^{2k\pi ib} e2kπib的周期性。 z b z^b zb的各个分支在除原点和负实轴的复平面内解析，且 ( z b ) ′ = b z b − 1 (z^b)'=bz^{b-1} (zb)′=bzb−1；特别地，当 b b b是整数时， z b z^b zb是单值函数，在整个复平面内解析。 (4) 三角函数： cos ⁡ z = e i z + e − i z 2 \cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} cosz=2eiz+e−iz​， sin ⁡ z = e i z − e − i z 2 i \sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} sinz=2ieiz−e−iz​（分子上 e i z e^{iz} eiz一定在前头）。它们都是以 2 π 2\pi 2π为周期的周期函数，奇偶性、三角恒等式和实变函数相同。它们都在整个复平面内解析，导函数也与实变函数相同。 e i z = cos ⁡ z + i sin ⁡ z e^{iz}=\cos z+i\sin z eiz=cosz+isinz成立。它们的零点都在实轴上。双曲正弦、双曲余弦函数的定义就是在正弦、余弦的定义中把 i i i全删掉。 (5) 反三角函数：称方程 z = cos ⁡ w z=\cos w z=cosw的所有根 w w w为 z z z的复变反余弦函数，记作 w = Arccos ⁡ z w=\operatorname{Arccos} z w=Arccosz。解方程得到 Arccos ⁡ z = − i Ln ⁡ ( z + z 2 − 1 ) \operatorname{Arccos} z=-i\operatorname{Ln}(z+\sqrt{z^2-1}) Arccosz=−iLn(z+z2−1 ​)， Arcsin ⁡ z = − i Ln ⁡ ( i z + 1 − z 2 ) \operatorname{Arcsin} z=-i\operatorname{Ln}(iz+\sqrt{1-z^2}) Arcsinz=−iLn(iz+1−z2 ​)，其中 ⋯ \sqrt{\cdots} ⋯ ​是双值函数。

这个可以用格林公式来理解。令 z = x + i y z=x+iy z=x+iy， f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) f(z)=u(x,y)+iv(x,y) f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，则 d z = d x + i d y \mathrm{d}z=\mathrm{d}x+i\mathrm{d}y dz=dx+idy， f ( z ) d z = ( u + i v ) ( d x + i d y ) = ( u d x − v d y ) + i ( v d x + u d y ) f(z)\mathrm{d}z=(u+iv)(\mathrm{d}x+i\mathrm{d}y)=(u\mathrm{d}x-v\mathrm{d}y)+i(v\mathrm{d}x+u\mathrm{d}y) f(z)dz=(u+iv)(dx+idy)=(udx−vdy)+i(vdx+udy)， ∮ C f ( z ) d z = ∮ C ( u d x − v d y ) + i ∮ C ( v d x + u d y ) \oint_C f(z)\mathrm{d}z=\oint_C(u\mathrm{d}x-v\mathrm{d}y)+i\oint_C(v\mathrm{d}x+u\mathrm{d}y) ∮C​f(z)dz=∮C​(udx−vdy)+i∮C​(vdx+udy)要让这两个第一型线积分都为 0 0 0，回想一下格林公式： ∮ C P d x + Q d y = ∬ ( σ ) ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d σ \oint_CP\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=\iint\limits_{(\sigma)}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}\sigma ∮C​Pdx+Qdy=(σ)∬​(∂x∂Q​−∂y∂P​)dσ只需使每个曲线积分的 ∂ Q ∂ x = ∂ P ∂ y \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y} ∂x∂Q​=∂y∂P​处处成立即可。对 ∮ C ( u d x − v d y ) \oint_C(u\mathrm{d}x-v\mathrm{d}y) ∮C​(udx−vdy)，我们有 ∂ u ∂ y = − ∂ v ∂ x \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} ∂y∂u​=−∂x∂v​；对 ∮ C ( v d x + u d y ) \oint_C(v\mathrm{d}x+u\mathrm{d}y) ∮C​(vdx+udy)，我们有 ∂ v ∂ y = ∂ u ∂ x \frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x} ∂y∂v​=∂x∂u​。这就是柯西-黎曼方程。

基本性质：

柯西-古萨基本定理：如果函数 f ( z ) f(z) f(z)在简单闭曲线 C C C上以及由它围成的区域 D D D内处处解析，那么 ∮ C f ( z ) d z = 0 \oint_C f(z)\mathrm{d}z=0 ∮C​f(z)dz=0

复合闭路定理：设 C C C为多连通域 D D D内的一条简单闭曲线， C 1 , C 2 , ⋯   , C n C_1,C_2,\cdots,C_n C1​,C2​,⋯,Cn​是在 C C C内部的 n n n条简单闭曲线，它们互不包含也互不相交，并且以它们为边界的 n n n个区域全含于 D D D。如果 f ( z ) f(z) f(z)在 D D D内解析，那么：

意思就是，围绕很多奇点的闭路积分，等于围绕每个奇点的闭路积分之和。有很多奇点时分开算即可。

应用：围绕一个奇点进行积分，不管路径多么稀奇古怪，总可以化为一个小的环路。

原函数：设 f ( z ) f(z) f(z)在区域 D D D内连续，如果函数 φ ( z ) \varphi(z) φ(z)在区域 D D D内的导数等于 f ( z ) f(z) f(z)（即 φ ′ ( z ) = f ( z ) \varphi'(z)=f(z) φ′(z)=f(z)），则称 φ ( z ) \varphi(z) φ(z)为 f ( z ) f(z) f(z)在区域 D D D内的一个元函数。因为解析函数一定连续，所以如果 f ( z ) f(z) f(z)在单连通域 B B B内解析，则 F ( z ) = ∫ z 0 z f ( ζ ) d ζ F(z)=\int_{z_0}^z f(\zeta)\mathrm{d}\zeta F(z)=∫z0​z​f(ζ)dζ是 f ( z ) f(z) f(z)在单连通域 B B B内的一个原函数。

柯西积分公式：如果 f ( z ) f(z) f(z)在区域 D D D内处处解析， C C C为 D D D内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全包含于 D D D， z 0 z_0 z0​为 C C C内部的任一点，那么 f ( z 0 ) = 1 2 π i ∮ C f ( z ) z − z 0 d z f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}\mathrm{d}z f(z0​)=2πi1​∮C​z−z0​f(z)​dz

从留数的角度看，设 f ( z ) f(z) f(z)在 z = z 0 z=z_0 z=z0​处的洛朗展开式为 f ( z ) = ⋯ + c − 1 ( z − z 0 ) − 1 + f ( z 0 ) + c 1 ( z − z 0 ) + ⋯ f(z)=\cdots+c_{-1}{(z-z_0)}^{-1}+f(z_0)+c_1(z-z_0)+\cdots f(z)=⋯+c−1​(z−z0​)−1+f(z0​)+c1​(z−z0​)+⋯，则 f ( z ) z − z 0 = ⋯ + c − 1 ( z − z 0 ) − 2 + f ( z 0 ) ( z − z 0 ) − 1 + c 1 + ⋯ \frac{f(z)}{z-z_0}=\cdots+c_{-1}{(z-z_0)}^{-2}+f(z_0){(z-z_0)}^{-1}+c_1+\cdots z−z0​f(z)​=⋯+c−1​(z−z0​)−2+f(z0​)(z−z0​)−1+c1​+⋯，于是得出 Res ⁡ ( f ( z ) z − z 0 , z 0 ) = f ( z 0 ) \operatorname{Res}\left(\frac{f(z)}{z-z_0},z_0\right)=f(z_0) Res(z−z0​f(z)​,z0​)=f(z0​)，这样就可以得出柯西积分公式了。虽然这样有点循环论证的味道

解析函数的无限可导性：解析函数的导数也是解析函数，因而解析函数的任意阶导数都是解析函数。

高阶导数公式： f ( n ) ( z 0 ) = n ! 2 π i ∮ C f ( z ) ( z − z 0 ) n + 1 d z f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{{(z-z_0)}^{n+1}}\mathrm{d}z f(n)(z0​)=2πin!​∮C​(z−z0​)n+1f(z)​dz

注意不要忘了 n n n的阶乘！！！高阶导数公式有阶乘，泰勒级数有阶乘，用导数计算留数也有阶乘。 也不要忘了分母是 n + 1 n+1 n+1次方，而不是 n n n次方！！！

证明： ∣ f ( n ) ( z 0 ) ∣ = ∣ n ! 2 π i ∮ ∣ z − z 0 ∣ = R f ( z ) ( z − z 0 ) n + 1 d z ∣ ≤ n ! 2 π ∮ ∣ z − z 0 ∣ = R ∣ f ( z ) ∣ ∣ z − z 0 ∣ n + 1 d s ≤ n ! 2 π ∮ ∣ z − z 0 ∣ = R max ⁡ ∣ z − z 0 ∣ = R ∣ f ( z ) ∣ R n + 1 d s = n ! 2 π max ⁡ ∣ z − z 0 ∣ = R ∣ f ( z ) ∣ R n + 1 ⋅ 2 π R = n ! ⋅ max ⁡ ∣ z − z 0 ∣ = R ∣ f ( z ) ∣ R n |f^{(n)}(z_0)|=\left|\frac{n!}{2\pi i}\oint_{|z-z_0|=R}\frac{f(z)}{{(z-z_0)}^{n+1}}\mathrm{d}z\right|\le\frac{n!}{2\pi}\oint_{|z-z_0|=R}\frac{|f(z)|}{{|z-z_0|}^{n+1}}\mathrm{d}s\\ \le\frac{n!}{2\pi}\oint_{|z-z_0|=R}\frac{\max\limits_{|z-z_0|=R}|f(z)|}{R^{n+1}}\mathrm{d}s=\frac{n!}{2\pi}\frac{\max\limits_{|z-z_0|=R}|f(z)|}{R^{n+1}}\cdot 2\pi R=\frac{n!\cdot\max\limits_{|z-z_0|=R}|f(z)|}{R^n} ∣f(n)(z0​)∣= ​2πin!​∮∣z−z0​∣=R​(z−z0​)n+1f(z)​dz ​≤2πn!​∮∣z−z0​∣=R​∣z−z0​∣n+1∣f(z)∣​ds≤2πn!​∮∣z−z0​∣=R​Rn+1∣z−z0​∣=Rmax​∣f(z)∣​ds=2πn!​Rn+1∣z−z0​∣=Rmax​∣f(z)∣​⋅2πR=Rnn!⋅∣z−z0​∣=Rmax​∣f(z)∣​

证明：设在整个复平面上 ∣ f ( z ) ∣ ≤ M |f(z)|\le M ∣f(z)∣≤M，其中 M M M是上界。则由柯西不等式知， ∀ z 0 ∈ C \forall z_0\in\mathbb{C} ∀z0​∈C， R > 0 R>0 R>0，有 ∣ f ′ ( z 0 ) ∣ ≤ max ⁡ ∣ z − z 0 ∣ = R ∣ f ( z ) ∣ R ≤ M R |f'(z_0)|\le\frac{\max\limits_{|z-z_0|=R}|f(z)|}{R}\le\frac{M}{R} ∣f′(z0​)∣≤R∣z−z0​∣=Rmax​∣f(z)∣​≤RM​令 R → ∞ R\to\infty R→∞，即知 ∣ f ′ ( z 0 ) ∣ |f'(z_0)| ∣f′(z0​)∣小于任意正数，因而 ∣ f ′ ( z 0 ) ∣ = 0 |f'(z_0)|=0 ∣f′(z0​)∣=0， f ′ ( z 0 ) = 0 f'(z_0)=0 f′(z0​)=0。于是可得 f ′ ( z ) ≡ 0 f'(z)\equiv 0 f′(z)≡0，即 f ( z ) f(z) f(z)恒为常数。

也就是说，设 f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) f(z)=u(x,y)+iv(x,y) f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域 D D D内解析，则 ∀ ( x , y ) ∈ D \forall (x,y)\in D ∀(x,y)∈D， ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0 ∂ 2 v ∂ x 2 + ∂ 2 v ∂ y 2 = 0 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0\\ \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}=0 ∂x2∂2u​+∂y2∂2u​=0∂x2∂2v​+∂y2∂2v​=0这可以从柯西-黎曼方程推得。

洛朗级数：设 f ( z ) f(z) f(z)在圆环域 R 1 < ∣ z − z 0 ∣ < R 2 R_1