大致分为两部分:

DEFINITION 1. 设 \(\Omega\) 为区域, \(\mathbf{F}(z)\) 为 \(\Omega\) 上的多值函数, 如果 \(f(z)\) 在 \(\Omega\) 解析, 且对 \(\forall z\in\Omega\), 有 \(f(z)\in\mathbf{F}(z)\), 则称 \(f\) 为 \(\mathbf{F}\) 在 \(\Omega\) 上的解析分支.

这里的论述可能不太严格.

考虑复数的三角式: \[z=\vert z\vert e^{i~{\rm arg}~z}.\] 由于 \(e^{2\pi i}=1\), 故 \(\vert z\vert e^{i~{\rm arg}~z}=\vert z\vert e^{i~({\rm arg}~z+2k\pi)}\). 即 \(z\) 的辐角 \(\mathbf{Arg}~z\) 是一个多值函数. 由于辐角函数是一个多值函数, 这就导致了多值函数的存在. 多值函数的不同解析分支实际上也对应了 \(\mathbf{Arg}~z\) 的不同取值.

PROPOSITION 1. 设 \(\Omega\) 为单连通区域, \(z_0\notin\Omega\), 则 \(\mathbf{Arg}~(z-z_0)\) 在区域 \(\Omega\) 上有连续分支 \({\rm arg}~(z-z_0)\), 且 \(\mathbf{Arg}~(z-z_0)\) 在 \(\Omega\) 上的所有连续分支如下: \[\mathbf{Arg}~(z-z_0)=\{ {\rm arg}~(z-z_0)+2k\pi:k\in\mathbb{Z}\}.\] 于是 \(\mathbf{Arg}~(z-z_0)\) 在 \(\Omega\) 内有无穷多个连续分支.

THEOREM 1. 设 \(\Omega\) 为单连通区域, \(f(z)\) 在 \(\Omega\) 中解析且处处不为零, 则 \(\mathbf{Ln}~f(z)\) 在 \(\Omega\) 有解析分支 \(g(z)\), s.t. \[e^{g(z)}=f(z),\] 且 \(\mathbf{Ln}~f(z)\) 在 \(\Omega\) 上所有的解析分支都具有形式 \(g(z)+2k\pi i\), 即: \[\mathbf{Ln}~f(z)=\{g(z)+2k\pi i:k\in\mathbb{Z}\}.\] 即 \(\mathbf{Ln}~f(z)\) 在 \(\Omega\) 有无穷多个解析分支.

简略证明: 　　从三角式的角度考虑非常显然: \[\begin{align} {\bf Ln}~(z) &= \{\ln~(\vert z\vert e^{i~({\rm arg}~z+2k\pi)})\} \\ &= \{\ln~\vert z\vert+ i({\rm arg}~z+2k\pi)\} \\ &= \{\ln\vert z\vert +i~{\rm arg}~z+2k\pi i:k\in\mathbb{Z}\}. \end{align}\]

THEOREM 2. 设 \(n\geqslant 2\in\mathbb{N}\), \(\Omega\) 为单连通区域, \(z_0\notin\Omega\), \(f(z)\) 在 \(\Omega\) 中解析且处处不为零, 则 \((f(z))^\frac{1}{n}\) 在 \(\Omega\) 上有解析分支 \(g(z)\), 其所有解析分支为 \(g(z)e^{\frac{2k\pi i}{n}}\). 即: \[(f(z))^\frac{1}{n}=\{g(z)e^{\frac{2k\pi i}{n}}: k=0,1,\cdots,n-1\}.\] 即 \((f(z))^\frac{1}{n}\) 在 \(\Omega\) 有 \(n\) 个解析分支.

简略证明: 　　从三角式的角度考虑也是非常显然的. 细节略去.

再说吧..

只讨论 \(\sin\) 和 \(\cos\):

只讨论 \(\sinh z\) 和 \(\cosh\):

反三角函数是多值函数.

DEFINITION 2. 反三角函数定义如下: 　　反正弦函数: \[{\bf Arcsin}~z=\{w\in\mathbb{C}:\sin w=z\};\] 　　反余弦函数: \[{\bf Arccos}~z=\{w\in\mathbb{C}:\cos w=z\};\] 　　反正切函数: \[{\bf Arctan}~z=\{w\in\mathbb{C}:\tan w=z\};\]

有如下表示:

PROPOSITION 2. 反三角函数有如下表示: \[ \begin{align} {\bf Arcsin}~z &= -i{\bf Ln}(iz+(1-z^2)^\frac{1}{2}), \\ {\bf Arccos}~z &= -i{\bf Ln}(z+(1-z^2)^\frac{1}{2}), \\ {\bf Arctan}~z &= \frac{1}{2i}{\bf Ln}~\frac{1+iz}{1-iz}. \end{align} \]