口诀：

∬Df(x,y)dσ=∫abdx∫φ1(x)φ2(x)f(x,y)dy \iint\limits_Df(x,y)d\sigma=\int_a^bdx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)dy D∬​f(x,y)dσ=∫ab​dx∫φ1​(x)φ2​(x)​f(x,y)dy

其中D为X型区域：φ1(x)≤y≤φ2(x),a≤x≤bφ_1(x)\leq y\leq φ_2(x),a\leq x\leq bφ1​(x)≤y≤φ2​(x),a≤x≤b

∬Df(x,y)dσ=∫cddy∫ψ1(y)ψ2(y)f(x,y)dx \iint\limits_Df(x,y)d\sigma=\int_c^ddy\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y)dx D∬​f(x,y)dσ=∫cd​dy∫ψ1​(y)ψ2​(y)​f(x,y)dx

其中D为Y型区域：ψ1(x)≤x≤ψ2(x),c≤y≤d\psi_1(x)\leq x\leq \psi_2(x),c\leq y\leq dψ1​(x)≤x≤ψ2​(x),c≤y≤d

二重积分计算的注意事项

交换积分次序

有时候，会出现原积分难以积分的情况，此时需要做交换积分次序，步骤如下

提示

书P252 没有初等函数形式的原函数，需要交换积分次序

当x→0x\to0x→0时，∫0x(1−cos⁡t)dt∼∫0x12t2dt\int_0^x(1-\cos t)dt\sim\int_0^x\frac 12t^2dt∫0x​(1−cost)dt∼∫0x​21​t2dt

意思是，如果被积函数可以做无穷小替换时，可以直接不求导，如此这般积分等价代换

极坐标系下，有：

{x=rcos⁡θy=rsin⁡θ \begin{cases} x=r\cos\theta\\ y=r\sin\theta \end{cases}{x=rcosθy=rsinθ​

则有

dxdy=rdrdθ dxdy=\color{red}{r}drd\theta dxdy=rdrdθ

积分有三种情况：

∬Df(x,y)dσ={∫αβdθ∫r1(θ)r2(θ)f(rcos⁡θ,rsin⁡θ)rdr(极点O在区域D外部)∫αβdθ∫0r(θ)f(rcos⁡θ,rsin⁡θ)rdr(极点O在区域D边界)∫02πdθ∫0r(θ)f(rcos⁡θ,rsin⁡θ)rdr(极点O在区域D内部) \iint\limits_Df(x,y)d\sigma=\begin{cases} \int_\alpha^\beta d\theta\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdr&\text{(极点O在区域D外部)}\\\\ \int_\alpha^\beta d\theta\int_0^{r(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdr&\text{(极点O在区域D边界)}\\\\ \int_0^{2\pi} d\theta\int_0^{r(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdr&\text{(极点O在区域D内部)} \end{cases}D∬​f(x,y)dσ=⎩⎨⎧​∫αβ​dθ∫r1​(θ)r2​(θ)​f(rcosθ,rsinθ)rdr∫αβ​dθ∫0r(θ)​f(rcosθ,rsinθ)rdr∫02π​dθ∫0r(θ)​f(rcosθ,rsinθ)rdr​(极点O在区域D外部)(极点O在区域D边界)(极点O在区域D内部)​

极坐标系和直角坐标系选择的一般原则

主要看(1)

如果给出一个二重积分：

(1) 看被积函数是否符合f(x2+y2),f(yx),f(xy)f(x^2+y^2),f(\frac yx),f(\frac xy)f(x2+y2),f(xy​),f(yx​)等形式

(2) 看积分区域是否为圆或者为圆的一部分

如果是，则考虑使用极坐标系。否则，优先考虑使用直角坐标系

积分次序

先积r，后积θ

因为通常来说，θ更好定限

极坐标系和直角坐标系的相互转换

一是用好{x=rcos⁡θy=rsin⁡θ\begin{cases} x=r\cos\theta\\ y=r\sin\theta \end{cases}{x=rcosθy=rsinθ​这个公式；二是画出积分区域D的边界图形，做好上下限的转换

牢记换元有三换：积分上下限、被积函数、面积元素

f(x,y)→f[x(u,v),y(u,v)]f(x,y)\to f[x(u,v),y(u,v)]f(x,y)→f[x(u,v),y(u,v)]

∬Dxy→∬Duv\iint\limits_{D_{xy}}\to\iint\limits_{D_{uv}}Dxy​∬​→Duv​∬​

dxdy→∣∂(x,y)∂(u,v)∣dudvdxdy\to \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|dudvdxdy→​∂(u,v)∂(x,y)​​dudv

其中

∂(x,y)∂(u,v)=∣∂x∂u∂x∂v∂y∂u∂y∂v∣≠0 \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\\\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}\not=0∂(u,v)∂(x,y)​=​∂u∂x​∂u∂y​​∂v∂x​∂v∂y​​​=0

称为J行列式