2023年山东省泰安市中考数学试卷 一、选择题 1．（4分）的倒数为（　　） A． B． C． D． 2．（4分）下列运算正确的是（　　） A．2a+3b＝5ab B．（a﹣b）2＝a2﹣b2 C．（ab2）3＝a3b5 D．3a3•（﹣4a2）＝﹣12a5 3．（4分）2023年1月17日，国家航天局公布了我国嫦娥五号月球样品的科研成果．科学家们通过对月球样品的研究，精确测定了月球的年龄是20.3亿年，数据20.3亿年用科学记数法表示为（　　） A．2.03×108年 B．2.03×109年 C．2.03×1010年 D．20.3×109年 4．（4分）小亮以四种不同的方式连接正六边形的两条对角线，得到如图四种图形，则既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 5．（4分）把一块直角三角板和一把直尺如图放置，若∠1＝35°，则∠2的度数等于（　　） A．65° B．55° C．45° D．60° 6．（4分）为了解学生的身体素质状况，国家每年都会进行中小学生身体素质抽测．在今年的抽测中，某校九年级二班随机抽取了10名男生进行引体向上测试，他们的成绩（单位：个）如下： 7，11，10，11，6，14，11，10，11，9． 根据这组数据判断下列结论中错误的是（　　） A．这组数据的众数是11 B．这组数据的中位数是10 C．这组数据的平均数是10 D．这组数据的方差是4.6 7．（4分）如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，∠ADC＝115°，则∠BAC的度数是（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 8．（4分）一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（　　） A． B． C．​ D． 9．（4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为4，连接OB，OC，OA，若∠CAO＝40°，∠ACB＝70°，则阴影部分的面积是（　　） A．π B．π C．π D．π 10．（4分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两．根据题意得（　　） A． B． C． D． 11．（4分）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝36°．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于FG的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：①∠AED＝∠ABC；②BC＝AE；③ED＝BC；④当AC＝2时，AD＝﹣1．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，点A的坐标为（﹣6，4）；Rt△COD中，∠COD＝90°，OD＝4，∠D＝30°，连接BC，点M是BC中点，连接AM．将Rt△COD以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AM的最小值是（　　） A．3 B．6﹣4 C．2﹣2 D．2 二、填空题 13．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 　 　． 14．（4分）为了测量一个圆形光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出AB＝4cm，则这张光盘的半径是 　 　cm．（精确到0.1cm．参考数据：≈1.73） 15．（4分）二次函数y＝﹣x2﹣3x+4的最大值是 　 　． 17．（4分）如图，在△ABC中，AC＝BC＝16，点D在AB上，点E在BC上，点B关于直线DE的轴对称点为点B′，连接DB′，EB′，分别与AC相交于F点，G点，若AF＝8，DF＝7，B′F＝4，则CG的长度为 　 　． 18．（4分）已知，△OA1A2，△A3A4A5，△A6A7A8，…都是边长为2的等边三角形，按如图所示摆放．点A2，A3，A5，…都在x轴正半轴上，且A2A3＝A5A6＝A8A9＝…＝1，则点A2023的坐标是 　 　． 三、解答题 19．（10分）（1）化简：（2﹣）÷； （2）解不等式组：． 20．（10分）2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开．为激励青少年争做党的事业接班人，某市团市委在党史馆组织了“红心永向党”为主题的知识竞赛，依据得分情况将获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级为一等奖，C级为二等奖，D级为优秀奖．并将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图． 请根据相关信息解答下列问题： （1）本次竞赛共有 　 　名选手获奖，扇形统计图中扇形C的圆心角度数是 　 　度； （2）补全条形统计图； （3）若该党史馆有一个入口，三个出口．请用树状图或列表法，求参赛选手小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的概率． 21．（10分）如图，一次函数y1＝﹣2x+2的图象与反比例函数y2＝的图象分别交于点A，点B，与y轴，x轴分别交于点C，点D，作AE⊥y轴，垂足为点E，OE＝4． （1）求反比例函数的表达式； （2）在第二象限内，当y1＜y2时，直接写出x的取值范围； （3）点P在x轴负半轴上，连接PA，且PA⊥AB，求点P坐标． 22．（10分）为进行某项数学综合与实践活动，小明到一个批发兼零售的商店购买所需工具．该商店规定一次性购买该工具达到一定数量后可以按批发价付款，否则按零售价付款．小明如果给学校九年级学生每人购买一个，只能按零售价付款，需用3600元；如果多购买60个，则可以按批发价付款，同样需用3600元，若按批发价购买60个与按零售价购买50个所付款相同，求这个学校九年级学生有多少人？ 23．（12分）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点F是DC边上的一点，连接AF，将△ADF沿直线AF折叠，点D落在点G处，连接AG并延长交DC于点H，连接FG并延长交BC于点M，交AB的延长线于点E，且AC＝AE． （1）求证：四边形DBEF是平行四边形； （2）求证：FH＝ME． 24．（12分）∧如图，△ABC、△CDE是两个等腰直角三角形EF⊥AD． （1）当AF＝DF时，求∠AED； （2）求证：△EHG∽△ADG； （3）求证：＝． 25．（14分）如图1，二次函数y＝ax2+bx+4的图象经过点A（﹣4，0），B（﹣1，0）． ​ （1）求二次函数的表达式； （2）若点P在二次函数对称轴上，当△BCP面积为5时，求P坐标； （3）小明认为，在第三象限抛物线上有一点D，使∠DAB+∠ACB＝90°；请判断小明的说法是否正确，如果正确，请求出D的坐标；如果不正确，请说明理由． 1．A 2．D 3．B 4．D 5．B 6．B 7．A 8．D 9．C 10．C 11．C 12．A 13．a＞﹣4．14．6.9．15．．17．． 18．（2023，）． 19．（1）原式＝• ＝• ＝• ＝； （2）， 解①得：x＞﹣2； 解②得：x＜5， 故不等式组的解集为：﹣2＜x＜5． 20．（1）本次竞赛获奖选手共有80÷＝200（名）， 则B等级人数为200×25%＝50（名）， ∴C等级人数为200﹣（80+50+10）＝60（名）， ∴扇形统计图中扇形C的圆心角度数是360°×＝108°， 故答案为：200、108； （2）补全图形如下： （3）将三个出口分别记作A、B、C，列表如下： A B C A （A，A） （B，A） （C，A） B （A，B） （B，B） （C，B） C （A，C） （B，C） （C，C） 由表知，共有9种等可能结果，其中小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的有3种结果， 所以小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的概率为＝． 21．（1）∵一次函数y1＝﹣2x+2的图象与y轴，x轴分别交于点C，点D， ∴点C（0，2），点D（1，0）， ∵OE＝4， ∴OC＝CE＝2， ∵∠AEC＝∠DOC＝90°，∠ACE＝∠DCO， ∴△AEC≌△DCO（ASA）， ∴AE＝OD＝1， ∴点A（﹣1，4）， ∵点A在反比例函数y2＝的图象上， ∴k＝﹣1×4＝﹣4， ∴反比例函数的关系式为y2＝﹣； （2）方程组的解为，， ∵点A（﹣1，4）， ∴点B（2，﹣2）， 由于是在第二象限，当y1＜y2时，x的取值范围为﹣1＜x＜0； （3）由于直线PA⊥AB，可设直线PA的关系式为y＝x+b， 把点A（﹣1，4）代入得，4＝﹣+b， 解得b＝， ∴直线PA的关系式为y＝x+， 当y＝0时，x＝﹣9， ∴点P的坐标为（﹣9，0）． 22．解：设这个学校九年级学生有x人， 根据题意得：×50＝×60， 解得：x＝300， 经检验，x＝300是所列方程的解，且符合题意． 答：这个学校九年级学生有300人． 23．（1）∵△ADF沿直线AF折叠，点D落在点G处， ∴△ADF≌△AGF， ∴AD＝AG，∠AGF＝∠ADF＝90°， ∴∠AGE＝∠ADC＝90°， 在Rt△ADC和Rt△AGE中： ， ∴Rt△ADC≌Rt△AGE（HL）， ∴∠ACD＝∠E， 在矩形ABCD中，对角线互相平分， ∴OA＝OB， ∴∠CAB＝∠ABD， 又∵DC∥AB， ∴∠ACD＝∠CAB， ∴∠ABD＝∠ACD， ∴∠ABD＝∠E， ∴DB∥FE， 又∵DF∥BE， ∴四边形DBEF是平行四边形． （2）∵四边形DBEF是平行四边形， ∴DF＝EB， 又∵DF＝FG， ∴FG＝EB， ∵DC∥AE， ∴∠HFG＝∠E， 在△FGH和△EBM中： ， ∴△FGH≌△EBM（ASA）， ∴FH＝ME． 24．（1）解：∵△ABC、△CDE是两个等腰直角三角形， ∴∠ACB＝∠BAC＝45°，∠CED＝∠CDE＝45°， ∴∠CGE＝180°﹣∠ACB﹣∠CED＝90°， ∵CE＝CD， ∴EG＝DG＝DE， ∵AF＝DF，EF⊥AD， ∴AE＝DE， ∴EG＝AE， ∴cos∠AED＝， ∴∠AED＝60°； （2）证明：由（1）得：∠CEG＝90°， ∴CG⊥DE， ∴∠AGD＝∠EGH＝∠AFH＝90°， ∵∠AHF＝∠EHG， ∴∠FAH＝∠HEG， ∴△EHG∽△ADG； （3）证明：如图， 作AQ∥BC，交EF的延长线于点Q， ∴△CHE∽△AHQ， ∴，∠Q＝∠CEF，∠QAE＝∠AEB， ∴， 设∠GEH＝∠FAH＝α， 由（1）知：AC是DE的垂直平分线， ∴AE＝AD， ∴∠EAG＝∠FAH＝α， ∴∠AEB＝∠ACB+∠EAG＝45°+α， ∵∠CEF＝∠CED+∠GEH＝45°+α， ∴∠AEB＝∠CEF， ∴∠Q＝∠QAE， ∴AE＝EQ， ∴＝． 25．（1）由题意得：C（0，4）， 设抛物线的解析式为：y＝a（x+4）（x+1）， ∴4＝a•4×1， ∴a＝1， ∴y＝（x+4）（x+1）＝x2+5x+4； （2）如图1， 过点P作PT∥BC，交x轴于点T，作BQ⊥PT于Q， ∴∠QTB＝∠CBO，∠TQB＝∠BOC＝90°， ∴△TBQ∽△BCO， ∴， ∴TB•OC＝BC•BQ， ∵B（﹣1，0），C（0，4），A（﹣4，0）， ∴OC＝4，OB＝1，直线BC的解析式为：y＝4x+4，抛物线的对称轴为：x＝﹣， ∴kPT＝kBC＝4， 由S△PBC＝5得， BQ＝5， ∴BC•BQ＝10， ∴4TB＝10， ∴TB＝， ∴OA＝OB+TB＝1+， ∴T（﹣，0）， ∴直线PT的解析式为y＝4x+14， 当x＝﹣是，y＝4×+14＝4， ∴P（﹣，4）； （3）如图2， 存在D（﹣，﹣），使∠DAB+∠ACB＝90°，理由如下： 作BF⊥AC于F，设AD与y轴交于点E， ∴∠BFA＝∠BFC＝90°， ∴∠ACB+∠CBF＝90°， ∵∠ACB+∠DAB＝90°， ∴∠DAB＝∠CBF， ∵∠AOC＝90°，OA＝OC＝4， ∴∠CAO＝45°，AC＝4， ∵AB＝3， ∴AF＝BF＝AB•sin45°＝AB＝， ∴CF＝AC﹣AF＝4＝， ∴tan∠DAB＝tan∠CBD＝， ∴， ∴， ∴OE＝， ∴E（0，﹣）， ∴直线AD的解析式为：y＝﹣x﹣， 由得， （舍去），， ∴D（﹣）．

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