二阶常系数非齐次线性微分方程 y ′ ′ + p y ′ + q y = P m ( x ) e λ x y^{''}+py^{'}+qy=P_m(x)e^{\lambda x} y′′+py′+qy=Pm​(x)eλx 有形如 y ∗ = x k Q m ( x ) e λ x y*=x^kQ_m(x)e^{\lambda x} y∗=xkQm​(x)eλx 的特解,其中 Q m ( x ) Qm(x) Qm(x)是与 P m ( x ) Pm(x) Pm(x)同次的多项式, 而k按 λ \lambda λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2.

一 、 f ( x ) = P m ( x ) e λ x 型 一、f(x)=P_m(x)e^{\lambda x}型 一、f(x)=Pm​(x)eλx型 以图中为例：对特征方程进行求解，解的 r 1 = 2 , r 2 = 3 r_1=2,r_2=3 r1​=2,r2​=3 P m ( x ) = x P_m(x)=x Pm​(x)=x是一次函数,故设特征方程中 Q m ( x ) = b 0 x + b 1 Qm(x)=b_0x+b_1 Qm(x)=b0​x+b1​ λ = 2 \lambda=2 λ=2是特征方程的单根，所以 k = 1 k=1 k=1 综上可得特征方程的特解 y ∗ = x 1 ( b 0 x + b 1 ) e 2 x y*=x^1(b_0x+b_1)e^{2x} y∗=x1(b0​x+b1​)e2x

再加一道例题帮助理解

二 、 f ( x ) = e λ x [ P l ( x ) c o s   ω x + Q n ( x ) s i n   ω x ] 型 二 、f(x)=e^{\lambda x}[P_l(x)cos\,\omega x+Q_n(x)sin\,\omega x]型 二、f(x)=eλx[Pl​(x)cosωx+Qn​(x)sinωx]型

特 解 可 设 为 : y ∗ = x k e λ x [ R m ( 1 ) ( x ) c o s   ω x + R m ( 2 ) ( x ) s i n   ω x ] 特解可设为:\\y^{*}=x^ke^{\lambda x}[R^{(1)}_{m}(x)cos\,\omega x+R^{(2)}_{m}(x)sin\,\omega x] 特解可设为:y∗=xkeλx[Rm(1)​(x)cosωx+Rm(2)​(x)sinωx]

R m ( 1 ) ( x ) R^{(1)}_{m}(x) Rm(1)​(x)和 R m ( 2 ) ( x ) R^{(2)}_{m}(x) Rm(2)​(x)是m次多项式, m = m a x { l , n } m=max\{l,n\} m=max{l,n} k k k按 λ + ω i ( 或 λ − ω i ) \lambda+\omega i(或\lambda-\omega i) λ+ωi(或λ−ωi)不是特征方程的根、是特征方程的单根依次取0或1.