有限差分法的推导基于Taylor级数展开，这是一种将函数表示为其导数在某一点的无限和的方法。通过考虑函数在某点附近的Taylor级数展开，并结合不同点的展开式，我们可以导出有限差分近似导数的公式。

给定一个在点 x x x可导的函数 f ( x ) f(x) f(x)，其在 x 0 x_0 x0​附近的Taylor级数展开是： f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + f ′ ′ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + f ′ ′ ′ ( x 0 ) 3 ! ( x − x 0 ) 3 + ⋯ f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \frac{f'''(x_0)}{3!}(x - x_0)^3 + \cdots f(x)=f(x0​)+f′(x0​)(x−x0​)+2!f′′(x0​)​(x−x0​)2+3!f′′′(x0​)​(x−x0​)3+⋯

假设我们要找到函数 f ( x ) f(x) f(x)在点 x x x处的一阶导数 f ′ ( x ) f'(x) f′(x)的近似值。

前向差分：考虑 x 0 = x x_0 = x x0​=x和 x = x + h x = x + h x=x+h的情况，根据Taylor级数，有： f ( x + h ) = f ( x ) + f ′ ( x ) h + f ′ ′ ( x ) 2 ! h 2 + O ( h 3 ) f(x + h) = f(x) + f'(x)h + \frac{f''(x)}{2!}h^2 + O(h^3) f(x+h)=f(x)+f′(x)h+2!f′′(x)​h2+O(h3) 解这个方程，求得 f ′ ( x ) f'(x) f′(x)的近似为： f ′ ( x ) ≈ f ( x + h ) − f ( x ) h f'(x) \approx \frac{f(x+h) - f(x)}{h} f′(x)≈hf(x+h)−f(x)​

后向差分：考虑 x 0 = x x_0 = x x0​=x和 x = x − h x = x - h x=x−h的情况，我们可以得到： f ( x − h ) = f ( x ) − f ′ ( x ) h + f ′ ′ ( x ) 2 ! h 2 − O ( h 3 ) f(x - h) = f(x) - f'(x)h + \frac{f''(x)}{2!}h^2 - O(h^3) f(x−h)=f(x)−f′(x)h+2!f′′(x)​h2−O(h3) 由此， f ′ ( x ) f'(x) f′(x)的近似为： f ′ ( x ) ≈ f ( x ) − f ( x − h ) h f'(x) \approx \frac{f(x) - f(x-h)}{h} f′(x)≈hf(x)−f(x−h)​

中心差分：结合前向差分和后向差分，我们得到： f ( x + h ) = f ( x ) + f ′ ( x ) h + f ′ ′ ( x ) 2 h 2 + O ( h 3 ) f(x + h) = f(x) + f'(x)h + \frac{f''(x)}{2}h^2 + O(h^3) f(x+h)=f(x)+f′(x)h+2f′′(x)​h2+O(h3) f ( x − h ) = f ( x ) − f ′ ( x ) h + f ′ ′ ( x ) 2 h 2 − O ( h 3 ) f(x - h) = f(x) - f'(x)h + \frac{f''(x)}{2}h^2 - O(h^3) f(x−h)=f(x)−f′(x)h+2f′′(x)​h2−O(h3) 相减得： f ( x + h ) − f ( x − h ) = 2 f ′ ( x ) h + O ( h 3 ) f(x + h) - f(x - h) = 2f'(x)h + O(h^3) f(x+h)−f(x−h)=2f′(x)h+O(h3) 从而得到 f ′ ( x ) f'(x) f′(x)的中心差分近似： f ′ ( x ) ≈ f ( x + h ) − f ( x − h ) 2 h f'(x) \approx \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h} f′(x)≈2hf(x+h)−f(x−h)​

对于二阶导数 f ′ ′ ( x ) f''(x) f′′(x)，我们可以使用 x + h x + h x+h和 x − h x - h x−h处的Taylor级数展开： f ( x + h ) = f ( x ) + f ′ ( x ) h + f ′ ′ ( x ) 2 h 2 + O ( h 3 ) f(x + h) = f(x) + f'(x)h + \frac{f''(x)}{2}h^2 + O(h^3) f(x+h)=f(x)+f′(x)h+2f′′(x)​h2+O(h3) f ( x − h ) = f ( x ) − f ′ ( x ) h + f ′ ′ ( x ) 2 h 2 + O ( h 3 ) f(x - h) = f(x) - f'(x)h + \frac{f''(x)}{2}h^2 + O(h^3) f(x−h)=f(x)−f′(x)h+2f′′(x)​h2+O(h3) 相加消去 f ′ ( x ) h f'(x)h f′(x)h项，并解出 f ′ ′ ( x ) f''(x) f′′(x)，得到： f ′ ′ ( x ) ≈ f ( x + h ) − 2 f ( x ) + f ( x − h ) h 2 f''(x) \approx \frac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2} f′′(x)≈h2f(x+h)−2f(x)+f(x−h)​

通过类似的方法，我们可以推导出更高阶导数的有限差分公式。这些公式的精度依赖于步长 h h h和高阶项的忽略。在实际应用中，选择适当的步长是关键，以平衡计算误差和数值稳定性。