信号与系统 |
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离散系统的解析描述--建立差分方程 1. 差分的定义 移位序列:设有序列f(k), 则… , f(k+2), f(k+1), f(k-1),f(k-2),… 等称为f(k)的移位序列。 差分运算: 一阶前向差分定义: 一阶后向差分定义: 我们主要用后向差分,简称为差分 差分的线性性质: 二阶差分定义: m阶差分: 2. 差分方程 差分方程:由未知输出序列项与输入序列项构成的方程。 差分方程的一般形式: 方程的阶数:未知变量最高序号与最低序号的差。 由n阶差分方程描述的系统称为n阶系统。 描述LTI离散系统的是线性常系数差分方程 差分方程的模拟框图 1.基本部件单元 数乘器 加法器 迟延单元(移位器) 2. 由框图建立差分方程 例 已知框图,写出系统的差分方程 差分方程的经典解法 1.递推迭代 差分方程本质上是递推的代数方程,若已知初始条件和激励,利用迭代法可求得其数值解 注:迭代法一般不易得到解析形式的(闭合)解。 2.经典法 与连续系统的微分方程经典解类似,差分方程的解由齐次解yh(k)和特解yp(k)两部分组成,即 齐次解是对应齐次差分方程的解: 由特征根可以设定齐次解的函数形式。 特解的函数形式与激励的函数形式有关。 3.齐次解的常用函数形式 4.特解的常用函数形式 说明:差分方程的齐次解也称为系统的自由响应,特解也称为强迫响应。本例中由于|λ|>1,故自由响应随k的增大而增大。 解:(1) 列出y(k)的差分方程 零输入响应的定义和求解 1.零输入响应的定义 零输入响应:离散系统的激励为零,仅由系统的初始状态引起的响应,用yzi(k)表示。 2.初始值的确定 3.求解步骤 (1)求特征方程的特征根; (2)设定齐次解; (3)直接代入初始状态 yzi(-l), l = 0, 1, … n-1, 求待定系数 零状态响应的定义和求解 1.零状态响应的定义 零状态响应:系统的初始状态yzs(-l)=0, l =1, 2, … n,为零,仅由激励 f(k)引起的响应,用yzs (k)表示。 2.初始值的确定 由迭代法求出初始值yzs(j), j= 0, 1, …n-1 3.求解步骤 (1)设定齐次解; (2)设定特解,代入方程求解; (3)代入初始值,求待定系数 斐波那契(Fibonacci)数列问题 假设每对大兔子每个月生一对小兔子,而每对小兔子一个月后长成大兔子,而且不会死亡。在最初一个月内有一对大兔子,问第n个月时一共有几对兔子. 解:每一个月中兔子的对数就构成了一个离散的时间信号。列出描述该问题的差分方程。 设y(k)为第k个月兔子对的数量。 第k个月兔子无论大小,在第k+1个月都会成为大兔子,从而在第k+2 个月中生出y(k)个小兔子 第k个月兔子无论大小,在第k+1个月都会成为大兔子,从而在第k+2 个月中生出y(k)个小兔子 而第k+2月中兔子的总个数y(k+2)等于大兔子对数y(k+1)与小兔子对的数量y(k)之和; y(k+2)=y(k+1)+y(k) 这就是斐波那契数列问题的差分方程,即: y(k+2)-y(k+1)-y(k)=0 简单空运控制系统 一个空运控制系统,它用一台计算机每隔一秒钟计算一次某飞机应有的高度x(k),另外用一雷达同时对此飞机实测一次高度y(k),把应有高度x(k)与一秒钟前的实测高度y(k-1)相比较得一差值,飞机的高度将根据此差值为正或为负来改变。试建立该问题的差分方程。 解:从第k-1秒到第 k秒这1秒钟内飞机升高为 K[x(k) - y(k -1)] = y(k) - y(k -1) 整理得: y(k) +(K -1)y(k -1) = Kx(k) RC取样输入和输出关系 一个RC电路如左图所示,输入端加取样电压信号e(t),如右图所示。试写出此系统每隔时间T输出电压u(k)与输入信号间关系的差分方程。 解:取样信号e(t)表示为如下冲激序列之和 上式即为描述输出离散电压与输入取样电压间关系的差分方程。 Matlab求解离散系统的零状态响应 在零状态时,MATLAB工具箱提供了一个filter函数,计算由差分方程描述的系统响应,其调用格式为 其中b=[b0,b1,b2,…, bm],a=[a0,a1,a2,…, an]分别是差分方程左右的系数向量,f表示输入序列,y表示系统的零状态响应。注意输出和输入序列的长度相同。 解: R=51; %输入信号长度 d=rand(1,R)-0.5; %产生离散随机数 k=0:R-1; s=2*k.*(0.9.^k); f=s+d; figure(1);stem(k,f,‘.’); %显示加噪信号 M=5;b=ones(M,1)/M; % f 前系数均为1/M a=1; y=filter(b,a,f); %求零状态响应 figure(2); stem(k,y,‘.’); %显示平滑滤波结果 NUM448 个人博客式公众号 用心每一天 |
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