关于二元函数极值、极值点和驻点的一些结论 |
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一、前言 在本文中,荒原之梦网(zhaokaifeng.com)总结了关于二元函数的极值点、驻点以及极值的一些结论,可以帮助我们更好的理解二元函数的一些性质。 对于一元函数极值点和最值点的解析,可以点击下面的按钮查看: 什么是极值点和最值点? 二、正文若点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为函数 $f(x, y)$ 的极值点, 则 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 不一定是 $f(x, y)$ 的驻点。 原因: 驻点是一阶导为 $0$ 的点,但是当一点处的导数不存在的时候,也可能存在极值,例如,函数: $$f(x, y) = |x| + |y|$$ 在 $(0, 0)$ 处取得极小值,但是,该点处的一阶偏导数 $f^{\prime}{x}(0, 0)$ 和 $f^{\prime}{y}(0, 0)$ 都不存在。 也就是说:极值点会出现于驻点或者一些不可导点。 或者说:可导函数内部的极值点一定是其驻点。 结论 2若点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为函数 $f(x, y)$ 的驻点,则 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 不一定为 $f(x, y)$ 的极值点。 原因: 极值点是一阶导函数值的正负在该点处发生改变的点,但是驻点指的仅仅是一阶导函数为零的点,例如,函数: $$f(x, y) = 1$$ 在 $(0, 0)$ 处就存在驻点,但在该点的左右两侧,一阶偏导数 $f^{\prime}{x}(0, 0)$ 和 $f^{\prime}{y}(0, 0)$ 的正负并没有发生改变,因此,点 $(0, 0)$ 就不是函数 $f(x, y) = 1$ 的一个极值点。 又例如,函数: $$f(x, y) = x^{3} + y^{3} \Rightarrow$$ $$f_{x}^{\prime}(0, 0) = 3x^{2} |_{x = 0} = 0$$ $$f_{y}^{\prime}(0, 0) = 3y^{2} |_{y = 0} = 0$$ 但由于一阶偏导数 $f^{\prime}{x}(x, y)$ $=$ $3x^{2}$ 和 $f^{\prime}{y}(x, y)$ $=$ $3y^{2}$ 的正负性,在点 $(0,0)$ 的左右两侧并没有发生改变,因此,点 $(0, 0)$ 就不是函数 $f(x, y)$ $=$ $x^{3}$ $+$ $y^{3}$ 的一个极值点。 结论 3若点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为有界闭区域 $D$ 上连续的函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 内部唯一的极值点, 且 $f(x, y)$ 在该点取极大值,则 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 不一定取得它在 $D$ 上的最大值。 原因: 极值点是位于函数定义域内部的,不可能位于一元函数的端点上(或者二元函数的边界上),因为极值点的存在与否需要依赖于该点两侧邻域内的其他点进行判断。 因此,判断一个极值点是否是最值点,还需要和函数的端点值进行比较。 结论 4若函数 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处取得极小值,则 $f\left(x, y_{0}\right)$ 在 $x=x_{0}$ 处取极小值,$f\left(x_{0}, y\right)$ 在 $y=y_{0}$ 处取极小值。 原因: 根据二元函数极值点的性质可知,只有当函数 $f(x ,y)$ 在点 $y = y_{0}$ 和点 $x = x_{0}$ 处都取得极小值或者都取得极大值的时候,函数 $f(x, y)$ 才会在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 取得极小值或者极大值。 涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。 线性代数以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。 特别专题通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。 让考场上没有难做的数学题! 相关文章: 求解二元隐函数的极值 求三阶微分方程 $y^{\prime \prime \prime}$ $+$ $y^{\prime \prime}$ $-$ $y^{\prime}$ $-$ $y$ $=$ $0$ 满足指定初值的特解 $y^{*}$ 计算微分方程 $y^{\prime \prime}$ $+$ $2 m y^{\prime}$ $+$ $n^{2} y$ $=$ $0$ 满足一定条件特解的无穷限反常积分 求二阶偏导的小技巧:复用一阶偏导的部分结果 要求解三次及以上导数时可以尝试使用泰勒公式 极值存在的充分条件:判别公式中的 $A$, $B$, $C$ 都是多少?(B013) 形成空间曲线的空间曲面的法向量:基于一般式方程(B013) 三元隐函数的复合函数求导法则(B012) 计算微分方程 $y^{\prime \prime}$ $+$ $y^{\prime}$ $-$ $2 y$ $=$ $(6x + 2) e^{x}$ 满足指定条件的特解 计算微分方程 $y$ $y^{\prime \prime}$ $+$ $2$ $(y^{\prime})^{2}$ $=$ $0$ 满足给定初始条件的特解 三元函数求单条件极值:拉格朗日函数的使用(B013) 求解 $y^{\prime \prime}$ $+$ $4 y^{\prime}$ $+$ $4y$ $=$ $e^{-2x}$ 满足指定条件的特解 求解可降阶的微分方程:$y^{\prime \prime}$ $=$ $f(y, y^{\prime})$(B031) 已知 $y$ $=$ $\sin 3x$, 求解 $y^{(n)}$ 做了这道题你会对全微分有更深入的理解 求解可降阶的微分方程:$y^{\prime \prime}$ $=$ $f(x, y^{\prime})$(B031) 用一个小技巧牢记求导公式 $(u v)^{\prime}$ $=$ $u^{\prime} v$ $+$ $u v^{\prime}$ 极值存在的充分条件:判断是否为极值点(B013) 二元函数求单条件极值:拉格朗日函数的使用(B013) 二阶欧拉方程的构型(B029) $y^{\prime \prime}$ $-$ $3 y^{\prime}$ $+$ $2 y$ $=$ $3x$ $-$ $2 e^{x}$ 特解的形式是多少? 三元复合函数求导法则(B012) 二阶混合偏导与次序无关定理(B012) 三元空间曲面上某点处的法线方程(B013) 求偏导时,函数的第一部分变量用 1 表示,第二部分变量用 2 表示 |
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