《微积分：一元函数微分学》

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《微积分：一元函数微分学》

2024-07-17 19:11:43| 来源: 网络整理| 查看: 265

二阶可导点是拐点的必要条件

设 f''(x) 存在，且点（x0，f(x0) ) 为曲线拐点，则 f''(x)=0

判断拐点的第一充分条件

设 f(x) 在 x=x0 处连续，在点 x=x0 的某去心邻域 $\mathring{U}(x_{0},\delta)$ 内二阶导数存在，且在该点的左右邻域内 f''(x) 变号

则点（x0，f(x0) ) 为曲线拐点

判断拐点的第二充分条件

设 f(x) 在 x=x0 的某邻域内三阶可导，且 $f''(x_{0})=0,f'''(x_{0})\neq 0$ ,则点（x0，f(x0) ) 为曲线拐点

判断拐点的第三充分条件

设 f(x) 在 x=x0 处 n 阶可导，且

$\\\\f^{(m)}(x_{0})=0\quad (m=2,\cdot\cdot\cdot,n-1) \\\\f^{(n)}(x_{0})\neq0\quad (n\geq 3)$

当 n 为奇数时，点（x0，f(x0) ) 为曲线拐点

证明：

由于n为奇数，令 n=2k+1，构造极限

$\\\\\\\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f''(x)}{(x-x_{0})^{2k-1}} \\\\\\\cdot\cdot\cdot \\\\\\\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f^{(2k)}(x)}{(2k-1)!(x-x_{0})} \\\\\\\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f^{(2k)}(x)-f^{(2k)}(x_{0})}{(2k-1)!(x-x_{0})} \\\\\\=\frac{1}{(2k-1)!}f^{(2k+1)}(x_{0})\neq0$

上述洛必达法则成立的依据是最后的结果存在.

由函数极限的局部保号性可得：

$\\\\\\f^{(2k+1)}(x_{0})0\Rightarrow \frac{f''(x)}{(x-x_{0})^{2k-1}}0\Rightarrow \\\\\\ x\rightarrow x_{0}^{+},f''(x)0\quad \\\\\\\ x\rightarrow x_{0}^{-},f''(x)0$

同理可证 $f^{(2k+1)}(x_{0})0$ 的情况

故点（x0，f(x0) ) 为曲线拐点

证毕

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