现有多元函数组 f 1 ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n )   ,   f 2 ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n )   , ⋯   ,   f m ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) \mathrm{f_1(x_1,x_2,\cdots,x_n)\ ,\ f_2(x_1,x_2,\cdots,x_n)\ ,\cdots\ ,\ f_m(x_1,x_2,\cdots,x_n)} f1​(x1​,x2​,⋯,xn​) , f2​(x1​,x2​,⋯,xn​) ,⋯ , fm​(x1​,x2​,⋯,xn​)，

那么其雅可比矩阵如下所示，它储存了该函数组所有一阶偏导数的信息 J = [ ∂ f 1 ∂ x 1 ∂ f 1 ∂ x 2 ⋯ ∂ f 1 ∂ x n ∂ f 2 ∂ x 1 ∂ f 2 ∂ x 2 ⋯ ∂ f 2 ∂ x n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∂ f m ∂ x 1 ∂ f m ∂ x 2 ⋯ ∂ f m ∂ x n ] \mathrm{ J= \left[\begin{array}{cccc} \displaystyle{ \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} } & \displaystyle{ \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}} } & \cdots & \displaystyle{ \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}} } \\ \displaystyle{ \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}} } & \displaystyle{ \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}} } & \cdots & \displaystyle{ \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{n}} } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \displaystyle{ \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}} } & \displaystyle{ \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{2}} } & \cdots & \displaystyle{ \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{n}} } \\ \end{array}\right] } J= ​∂x1​∂f1​​∂x1​∂f2​​⋮∂x1​∂fm​​​∂x2​∂f1​​∂x2​∂f2​​⋮∂x2​∂fm​​​⋯⋯⋱⋯​∂xn​∂f1​​∂xn​∂f2​​⋮∂xn​∂fm​​​ ​ 我们可以观察到，它满足同一行(hang)同一函数(han)，同一列(lie)同一自变量(liang)的规律

当多元函数组退化为一个多元函数时，其表示成 J = [ ∂ f ∂ x 1   ,   ∂ f ∂ x 2   ,   ⋯   ,   ∂ f ∂ x n ] \mathrm{ J= \left[\begin{array}{cccc} \displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x_{1}} } \ ,\ \displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x_{2}} } \ ,\ \cdots \ ,\ \displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x_{n}} } \end{array}\right] } J=[∂x1​∂f​ , ∂x2​∂f​ , ⋯ , ∂xn​∂f​​] 此时这个多元函数的海森矩阵如下所示，它储存了这个多元函数所有二阶偏导数的信息 H = [ ∂ 2 f ∂ x 1 2 ∂ 2 f ∂ x 1 ∂ x 2 ⋯ ∂ 2 f ∂ x 1 ∂ x n ∂ 2 f ∂ x 2 ∂ x 1 ∂ 2 f ∂ x 2 2 ⋯ ∂ 2 f ∂ x 2 ∂ x n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∂ 2 f ∂ x n ∂ x 1 ∂ 2 f ∂ x n ∂ x 2 ⋯ ∂ 2 f ∂ x n 2 ] \mathrm{ H= \left[\begin{array}{cccc} \displaystyle{ \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} } & \displaystyle{ \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_2} } & \cdots & \displaystyle{ \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_n} } \\ \displaystyle{ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_1} } & \displaystyle{ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} } & \cdots & \displaystyle{ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_n} } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \displaystyle{ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_1} } & \displaystyle{ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_2} } & \cdots & \displaystyle{ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} } \\ \end{array}\right] } H= ​∂x12​∂2f​∂x2​∂x1​∂2f​⋮∂xn​∂x1​∂2f​​∂x1​∂x2​∂2f​∂x22​∂2f​⋮∂xn​∂x2​∂2f​​⋯⋯⋱⋯​∂x1​∂xn​∂2f​∂x2​∂xn​∂2f​⋮∂xn2​∂2f​​ ​ 显然，当多元函数 f \mathrm{f} f 二阶偏导数连续时，海森矩阵为实对称矩阵

当多元函数组由两个二元函数 {   u ( x , y ) = 0   v ( x , y ) = 0 \mathrm{\begin{cases}\ u(x,y)=0 \\ \ v(x,y)=0 \end{cases}} { u(x,y)=0 v(x,y)=0​ 组成时，我们可以把它写成 J = [ ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y ∂ v ∂ x ∂ v ∂ y ] \mathrm{ J= \left[\begin{array}{cccc} \displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial x} } & \displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial y} } \\ \displaystyle{ \frac{\partial v}{\partial x} } & \displaystyle{ \frac{\partial v}{\partial y} } \end{array}\right] } J= ​∂x∂u​∂x∂v​​∂y∂u​∂y∂v​​ ​ 当多元函数组由三个二元函数 {   u ( x , y ) = 0   v ( x , y ) = 0   w ( x , y ) = 0 \mathrm{\begin{cases}\ u(x,y)=0 \\ \ v(x,y)=0\\ \ w(x,y)=0 \end{cases}} ⎩ ⎨ ⎧​ u(x,y)=0 v(x,y)=0 w(x,y)=0​ 组成时，我们可以把它写成 J = [ ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y ∂ v ∂ x ∂ v ∂ y ∂ w ∂ x ∂ w ∂ y ] \mathrm{ J= \left[\begin{array}{cccc} \displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial x} } & \displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial y} } \\ \displaystyle{ \frac{\partial v}{\partial x} } & \displaystyle{ \frac{\partial v}{\partial y} } \\ \displaystyle{ \frac{\partial w}{\partial x} } & \displaystyle{ \frac{\partial w}{\partial y} } \end{array}\right] } J= ​∂x∂u​∂x∂v​∂x∂w​​∂y∂u​∂y∂v​∂y∂w​​ ​

当函数为 f ( x , y ) = 0 f(x,y)=0 f(x,y)=0 时，海森矩阵表达为： H = [ f x x ′ ′ f x y ′ ′ f y x ′ ′ f y y ′ ′ ] \mathrm{ H= \left[\begin{array}{cccc} f''_{xx} & f''_{xy}\\ f''_{yx} & f''_{yy} \end{array}\right] } H=[fxx′′​fyx′′​​fxy′′​fyy′′​​] 当函数为 F ( x , y , z ) = 0 F(x,y,z)=0 F(x,y,z)=0 时，海森矩阵表达为： H = [ F x x ′ ′ F x y ′ ′ F x z ′ ′ F y x ′ ′ F y y ′ ′ F y z ′ ′ F z x ′ ′ F z y ′ ′ F z z ′ ′ ] \mathrm{ H= \left[\begin{array}{cccc} F''_{xx} & F''_{xy} & F''_{xz}\\ F''_{yx} & F''_{yy} & F''_{yz}\\ F''_{zx} & F''_{zy} & F''_{zz} \end{array}\right] } H= ​Fxx′′​Fyx′′​Fzx′′​​Fxy′′​Fyy′′​Fzy′′​​Fxz′′​Fyz′′​Fzz′′​​ ​

设函数 u = f ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n )   ,   ∂ u ∂ x 1 , ∂ u ∂ x 2 , ⋯   , ∂ u ∂ x n \displaystyle{ u=f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)\ ,\ \frac{\partial u}{\partial x_{1}}, \frac{\partial u}{\partial x_{2}}, \cdots, \frac{\partial u}{\partial x_{n}} } u=f(x1​,x2​,⋯,xn​) , ∂x1​∂u​,∂x2​∂u​,⋯,∂xn​∂u​ 在 ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) \left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) (x1​,x2​,⋯,xn​) 处可微，

函数 x i = φ i ( t 1 , t 2 x_{i}=\varphi_{i}\left(t_{1}, t_{2}\right. xi​=φi​(t1​,t2​, ⋯   , t m ) \left.\cdots, t_{m}\right) ⋯,tm​) 在点 ( t 1 , t 2 , ⋯   , t m ) \left(t_{1}, t_{2}, \cdots, t_{m}\right) (t1​,t2​,⋯,tm​) 有二阶偏导数，

则复合函数 u = f ( φ 1 ( t 1 , t 2 , ⋯   , t m ) , ⋯   , φ n ( t 1 , t 2 , ⋯   , t m ) ) u=f\left(\varphi_{1}\left(t_{1}, t_{2}, \cdots, t_{m}\right), \cdots, \varphi_{n}\left(t_{1}, t_{2}, \cdots, t_{m}\right)\right) u=f(φ1​(t1​,t2​,⋯,tm​),⋯,φn​(t1​,t2​,⋯,tm​)) 在点 ( t 1 , t 2 , ⋯   , t m ) \left(t_{1}, t_{2}, \cdots, t_{m}\right) (t1​,t2​,⋯,tm​) 处存在二阶偏导数，

且有公式（ i ∈ { 1 , 2 , ⋯   , m }   ,   j = 1 , 2 , ⋯   , m i\in\{1,2, \cdots, m\}\ , \ j=1,2, \cdots, m i∈{1,2,⋯,m} , j=1,2,⋯,m ）：

在解决实际问题的时候，我们通常接触的是，一阶、二阶、三阶矩阵的形式，我们下面分别给出：

显然，我们可以统一写成如下形式：

接下来根据上述结论我们讨论一种常见的类型，线性复合。

形如 z = f ( u , v )   ,   u = a x + b y + e   ,   v = c x + d y + f z=f(u,v)\ , \ u=ax+by+e\ , \ v=cx+dy+f z=f(u,v) , u=ax+by+e , v=cx+dy+f 的二元抽象线性复合函数，代入公式可以得到：