阶码（指数）就是指数位存储的值，而偏阶（移码）则不同精度的浮点数的偏阶也各不相同，具体可以查看指数偏差。 B i a s = 2 k − 1 − 1 Bias=2^{k-1}-1 Bias=2k−1−1, 其中k是指数中的位数。

半精度浮点数 是一种被计算机使用的二进制浮点数据类型。半精度浮点数使用2个字节（16位）来存储。 在IEEE 754-2008中，它被称作binary16。这种数据类型只适合存储对精度要求不高的数字，不适合用来计算。

IEEE 754 标准指定了一个 binary16 要有如下的格式： Sign bit（符号位）： 1 bit Exponent width（指数位宽）： 5 bits Significand precision（尾数精度）： 11 bits （有10位被显式存储）

按如下顺序排列： 除非指数位全是0，否则就会假定隐藏的起始位是1。因此只有10位尾数在内存中被显示出来，而总精度是11位。据IEEE 754的说法，虽然尾数只有10位，但是尾数精度是11位的(log10(211) ≈ 3.311 十进制数).

单精度浮点数 格式是一种数据类型，在计算机存储器中占用4个字节（32 bits），利用“浮点”（浮动小数点）的方法，可以表示一个范围很大的数值。

第1位表示正负，中间8位表示指数，后23位储存有效数位（有效数位是24位）。

第一位的正负号0代表正，1代表负。

中间八位共可表示 2 8 = 256 2^8=256 28=256个数，指数可以是二补码；或0到255，0到126代表-127到-1，127代表零，128-255代表1-128。

有效数位最左手边的1并不会储存，因为它一定存在（二进制的第一个有效数字必定是1）。换言之，有效数位是24位，实际储存23位。

s i g n = + 1 sign = +1 sign=+1 e x p o n e n t = ( − 127 ) + 124 = − 3 exponent = (-127)+124=-3 exponent=(−127)+124=−3 f r a c t i o n = 1 + 2 − 2 = 1.25 fraction=1+2^{-2}=1.25 fraction=1+2−2=1.25 v a l u e = ( + 1 ) × 1.25 × 2 − 3 = + 0.15625 value=(+1)\times1.25\times2^{-3}=+0.15625 value=(+1)×1.25×2−3=+0.15625

双精度浮点数（double）是计算机使用的一种资料类型。比起单精度浮点数，双精度浮点数(double)使用 64 位（8字节） 来存储一个浮点数。 它可以表示二进位制的53位有效数字，其可以表示的数字的绝对值范围为 [ 2 − 1024 , 2 1024 ] [2^{-1024}, 2^{1024}] [2−1024,21024]。

以双精度浮点数为例，说明一些特殊情况

当指数exponent全为0或者全为1时，有特殊含义，有以下四种情况， 1、 e x p o n e n t = 0 , f r a c t i o n = 0 ⇒ ± 0 exponent=0, fraction=0 \Rightarrow \pm0 exponent=0,fraction=0⇒±0 2、 e x p o n e n t = 0 , f r a c t i o n ≠ 0 ⇒ 非 正 规 形 式 的 浮 点 数 exponent=0, fraction\neq0 \Rightarrow 非正规形式的浮点数 exponent=0,fraction​=0⇒非正规形式的浮点数 3、 e x p o n e n t = 2047 , f r a c t i o n = 0 ⇒ ± ∞ exponent=2047, fraction=0 \Rightarrow \pm\infty exponent=2047,fraction=0⇒±∞ 4、 e x p o n e n t = 2047 , f r a c t i o n ≠ 0 ⇒ N a N exponent=2047, fraction\neq0 \Rightarrow NaN exponent=2047,fraction​=0⇒NaN

浮点数的加减运算一般由以下五个步骤完成：对阶、尾数运算、规格化、舍入处理、溢出判断

所谓对阶是指将两个进行运算的浮点数的阶码对齐的操作。对阶的目的是为使两个浮点数的尾数能够进行加减运算。因为，当进行 M x ⋅ 2 E x M_x·2^{E_x} Mx​⋅2Ex​与 M y ⋅ 2 E y M_y·2^{E_y} My​⋅2Ey​加减运算时，只有使两浮点数的指数值部分相同，才能将相同的指数值作为公因数提出来，然后进行尾数的加减运算。对阶的具体方法是：首先求出两浮点数阶码的差，即 Δ E = E x − E y \Delta E = E_x - E_y ΔE=Ex​−Ey​，将小阶码加上 Δ E \Delta E ΔE，使之与大阶码相等，同时将小阶码对应的浮点数的尾数右移相应位数，以保证该浮点数的值不变。几点注意：

（1）对阶的原则是小阶对大阶，之所以这样做是因为若大阶对小阶，则尾数的数值部分的高位需移出，而小阶对大阶移出的是尾数的数值部分的低位，这样损失的精度更小。

（2）若 Δ E \Delta E ΔE＝0，说明两浮点数的阶码已经相同，无需再做对阶操作了。

（3）采用补码表示的尾数右移时，符号位保持不变。

（4）由于尾数右移时是将最低位移出，会损失一定的精度，为减少误差，可先保留若干移出的位，供以后舍入处理用。

尾数运算就是进行完成对阶后的尾数相加减。这里采用的就是我们前面讲过的纯小数的定点数加减运算。

在机器中，为保证浮点数表示的唯一性，浮点数在机器中都是以规格化形式存储的。对于IEEE754标准的浮点数来说，就是尾数必须是1.M的形式。由于在进行上述两个定点小数的尾数相加减运算后，尾数有可能是非规格化形式，为此必须进行规格化操作。

规格化操作包括左规和右规两种情况。

将尾数左移，同时阶码减值，直至尾数成为 1. M 1.M 1.M的形式。例如，浮点数 0.0011 ∗ 2 5 0.0011*2^5 0.0011∗25是非规格化的形式，需进行左规操作，将其尾数左移3位，同时阶码减3，就变成 1.1100 ∗ 2 2 1.1100*2^2 1.1100∗22规格化形式了。

将尾数右移1位，同时阶码增1，便成为规格化的形式了。要注意的是，右规操作只需将尾数右移一位即可，这种情况出现在尾数的最高位（小数点前一位）运算时出现了进位，使尾数成为 10. x x x x 10.xxxx 10.xxxx或 11. x x x x 11.xxxx 11.xxxx的形式。例如， 10.0011 ∗ 2 5 10.0011*2^5 10.0011∗25右规一位后便成为 1.00011 ∗ 2 6 1.00011*2^6 1.00011∗26的规格化形式了。

浮点运算在对阶或右规时，尾数需要右移，被右移出去的位会被丢掉，从而造成运算结果精度的损失。为了减少这种精度损失，可以将一定位数的移出位先保留起来，称为保护位，在规格化后用于舍入处理。

IEEE754标准列出了四种可选的舍入处理方法：

（1）就近舍入（round to nearest）这是标准列出的默认舍入方式，其含义相当于我们日常所说的“四舍五入”。例如，对于32位单精度浮点数来说，若超出可保存的23位的多余位大于等于 100 … 01 100…01 100…01，则多余位的值超过了最低可表示位值的一半，这种情况下，舍入的方法是在尾数的最低有效位上加1；若多余位小于等于 011 … 11 011…11 011…11，则直接舍去；若多余位为 100 … 00 100…00 100…00，此时再判断尾数的最低有效位的值，若为0则直接舍去，若为1则再加1。

（2）朝 + ∞ +∞ +∞舍入（round toward + ∞ +∞ +∞）对正数来说，只要多余位不为全0，则向尾数最低有效位进1；对负数来说，则是简单地舍去。

（3）朝 − ∞ -∞ −∞舍入（round toward − ∞ -∞ −∞）与朝 + ∞ +∞ +∞舍入方法正好相反，对正数来说，只是简单地舍去；对负数来说，只要多余位不为全0，则向尾数最低有效位进1。

（4）朝0舍入（round toward 0）

即简单地截断舍去，而不管多余位是什么值。这种方法实现简单，但容易形成累积误差，且舍入处理后的值总是向下偏差。

与定点数运算不同的是，浮点数的溢出是以其运算结果的阶码的值是否产生溢出来判断的。若阶码的值超过了阶码所能表示的最大正数，则为上溢，进一步，若此时浮点数为正数，则为正上溢，记为 + ∞ +∞ +∞，若浮点数为负数，则为负上溢，记为 − ∞ -∞ −∞；若阶码的值超过了阶码所能表示的最小负数，则为下溢，进一步，若此时浮点数为正数，则为正下溢，若浮点数为负数，则为负下溢。正下溢和负下溢都作为0处理。

要注意的是，浮点数的表示范围和补码表示的定点数的表示范围是有所不同的，定点数的表示范围是连续的，而浮点数的表示范围可能是不连续的。

f l o a t      a = 0.3 ; b = 1.6 float \ \ \ \ a=0.3;b=1.6 float    a=0.3;b=1.6;

a = ( 0.3 ) 10 = ( 0011   1110   1001   1001   1001   1001   1001   1010 ) 2 a=(0.3)_{10}=(0011\ 1110\ 1001\ 1001\ 1001\ 1001\ 1001\ 1010)_2 a=(0.3)10​=(0011 1110 1001 1001 1001 1001 1001 1010)2​ S a = 0      E a = 011   1110   1      M a = 1.001   1001   1001   1001   1001   1010 S_a=0\ \ \ \ E_a=011\ 1110\ 1\ \ \ \ M_a=1.001\ 1001\ 1001\ 1001\ 1001\ 1010 Sa​=0    Ea​=011 1110 1    Ma​=1.001 1001 1001 1001 1001 1010

b = ( 1.6 ) 10 = ( 0011   1111   1100   1100   1100   1100   1100   1101 ) 2 b=(1.6)_{10}=(0011\ 1111\ 1100\ 1100\ 1100\ 1100\ 1100\ 1101)_2 b=(1.6)10​=(0011 1111 1100 1100 1100 1100 1100 1101)2​ S b = 0      E b = 011   1111   1     M b = 1.100   1100   1100   1100   1100   1101 S_b=0\ \ \ \ E_b=011\ 1111\ 1\ \ \ M_b=1.100\ 1100\ 1100\ 1100\ 1100\ 1101 Sb​=0    Eb​=011 1111 1   Mb​=1.100 1100 1100 1100 1100 1101

a + b = ? a+b=? a+b=?

第一步：对阶

∵ E a < E b     E b − E a = 2 ∵ E_a < E_b\ \ \ E_b-E_a=2 ∵Ea​