\quad 在数据建模时，高斯模型[1]经常会被用来模拟数据的分布。这里，我们主要考虑标准高斯分布的形式并证明标准高斯形式分布的概率密度和为 1。  

\quad 对于 e − x 2 e^{-x^2} e−x2，从负无穷到正无穷的积分，我们可以写为 ∫ − ∞ + ∞ e − x 2 d x \int_{-\infty }^{+\infty} e^{-x^2} dx ∫−∞+∞​e−x2dx，那么我们该如何求解呢？   \quad 首先，我们令 A = ∫ − ∞ + ∞ e − x 2 d x = ∫ − ∞ + ∞ e − y 2 d y A=\int_{-\infty }^{+\infty} e^{-x^2} dx=\int_{-\infty }^{+\infty} e^{-y^2} dy A=∫−∞+∞​e−x2dx=∫−∞+∞​e−y2dy

\quad 那么我们有： A 2 = ∫ − ∞ + ∞ e − x 2 d x ⋅ ∫ − ∞ + ∞ e − y 2 d y = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ e − ( x 2 + y 2 ) d x d y A^2=\int_{-\infty }^{+\infty} e^{-x^2} dx \cdot \int_{-\infty }^{+\infty} e^{-y^2} dy = \int_{-\infty }^{+\infty}\int_{-\infty }^{+\infty} e^{-(x^2+y^2)} dxdy A2=∫−∞+∞​e−x2dx⋅∫−∞+∞​e−y2dy=∫−∞+∞​∫−∞+∞​e−(x2+y2)dxdy

\quad 这里，我们将其转化为极坐标形式（ x 2 + y 2 = r 2 & d x d y = r d r d θ x^2+y^2=r^2 \quad \&\quad dxdy=rdrd\theta x2+y2=r2&dxdy=rdrdθ）： A 2 = ∫ 0 2 π ∫ 0 + ∞ r ⋅ e − r 2 d r d θ A^2= \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{+\infty} r\cdot e^{-{r^2}}drd\theta A2=∫02π​∫0+∞​r⋅e−r2drdθ

= ∫ 0 2 π − 1 2 e − r 2 ∣ 0 + ∞ d θ =\int_{0}^{2\pi} -\frac{1}{2}e^{-{r^2}}|_{0}^{+\infty} d\theta =∫02π​−21​e−r2∣0+∞​dθ

= ∫ 0 2 π 1 2 d θ = 1 2 θ ∣ 0 2 π = π =\int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2} d\theta = \frac{1}{2}\theta |_{0}^{2\pi} = \pi =∫02π​21​dθ=21​θ∣02π​=π

\quad 所以，可以得出 ∫ − ∞ + ∞ e − x 2 d x = π \int_{-\infty }^{+\infty} e^{-x^2} dx=\sqrt{\pi} ∫−∞+∞​e−x2dx=π ​。此外，可以参考[2,3]得到以上证明。

\quad 高斯函数的标准形式有：

f ( x ) = 1 2 π e − x 2 2 f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{ - \frac{x^2}{2}} f(x)=2π ​1​e−2x2​

\quad 其中， e − x 2 2 e^{-\frac{x^2}{2}} e−2x2​部分从负无穷到正无穷的积分可以通过类似上式的方式进行求解，其中关键部分如下：

∫ − ∞ + ∞ e − x 2 2 d x ⋅ ∫ − ∞ + ∞ e − y 2 2 d y = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ e − x 2 + y 2 2 d x d y \int_{-\infty }^{+\infty} e^{-\frac{x^2}{2}} dx \cdot \int_{-\infty }^{+\infty} e^{-\frac{y^2}{2}} dy = \int_{-\infty }^{+\infty}\int_{-\infty }^{+\infty} e^{-\frac{x^2+y^2}{2}} dxdy ∫−∞+∞​e−2x2​dx⋅∫−∞+∞​e−2y2​dy=∫−∞+∞​∫−∞+∞​e−2x2+y2​dxdy

∫ 0 2 π ∫ 0 + ∞ r ⋅ e − r 2 2 d r d θ \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{+\infty} r\cdot e^{-\frac{r^2}{2}}drd\theta ∫02π​∫0+∞​r⋅e−2r2​drdθ

= ∫ 0 2 π − e − r 2 2 ∣ 0 + ∞ d θ =\int_{0}^{2\pi} -e^{-\frac{r^2}{2}}|_{0}^{+\infty} d\theta =∫02π​−e−2r2​∣0+∞​dθ

= ∫ 0 2 π d θ = θ ∣ 0 2 π = 2 π =\int_{0}^{2\pi} d\theta = \theta |_{0}^{2\pi} = 2\pi =∫02π​dθ=θ∣02π​=2π

\quad 所以，可以得出 ∫ − ∞ + ∞ e − x 2 2 d x = 2 π \int_{-\infty }^{+\infty} e^{-\frac{x^2}{2}} dx=\sqrt{2\pi} ∫−∞+∞​e−2x2​dx=2π ​， 那么 ∫ − ∞ + ∞ 1 2 π e − x 2 2 d x = 1 \int_{-\infty }^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} dx=1 ∫−∞+∞​2π ​1​e−2x2​dx=1，即概率密度和为 1。

参考:

1. Chen K X, Ren J Y, Wu X J, et al. Covariance Descriptors on a Gaussian Manifold and their Application to Image Set Classification[J]. Pattern Recognition, 2020: 107463. [link] 2. https://zhidao.baidu.com/question/984359238635879059.html [link] 3. https://zhidao.baidu.com/question/813230985449009852.html [link]