§ 3 § 3 §3 唯 一 性 我们看到, 经过非退化线性替换, 二次型的矩阵变成一个与之合同的矩阵. 由第四章 § 4 § 4 §4 定理 4 , 合同的矩阵有相同的秩, 这就是说, 经过非退化线性替换之后,二次型矩阵的秩是不变的.标准形的矩阵是对角矩阵, 而对角矩阵的秩就等于它对角线上不为零的元素的个数. 因此, 在二个二次型的标准形中, 系数不为零的平方项的个数是唯一确定的,与所作的非退化线性替换无关, 二次型矩阵的秩有时就称为二次型的秩. 至于标准形中的系数, 就不是唯一确定的. 譬如上一节的例子, 二次型 2 x 1 x 2 + 2 x 1 x 3 − 2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}- 2x1​x2​+2x1​x3​− 6 x 2 x 3 6 x_{2} x_{3} 6x2​x3​ 经过线性替换 ( x 1 x 2 x 3 ) = ( 1 1 3 1 − 1 − 1 0 0 1 ) ( y 1 y 2 y 3 ) \left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}\right) ​x1​x2​x3​​ ​= ​110​1−10​3−11​ ​ ​y1​y2​y3​​ ​ 得到标准形 2 y 1 2 − 2 y 2 2 + 6 y 3 2 , 2 y_{1}^{2}-2 y_{2}^{2}+6 y_{3}^{2}, 2y12​−2y22​+6y32​, 而经过线性替换 ( x 1 x 2 x 3 ) = ( 1 − 1 2 1 1 1 2 − 1 3 0 0 1 3 ) ( w 1 w 2 w 3 ) \left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr} 1 & -\frac{1}{2} & 1 \\ 1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{3} \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3} \end{array}\right) ​x1​x2​x3​​ ​= ​110​−21​21​0​1−31​31​​ ​ ​w1​w2​w3​​ ​ 就得到另一个标准形

2 w 1 2 − 1 2 w 2 2 + 2 3 w 3 2 . 2 w_{1}^{2}-\frac{1}{2} w_{2}^{2}+\frac{2}{3} w_{3}^{2} . 2w12​−21​w22​+32​w32​.

这就说明,在一般的数域内,二次型的标准形不是唯一的,而与所作的非退化线性替换有关. 下面只就复数域和实数域的情形来进一步讨论唯一性的问题. 先盾复数域的情形.设 f ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) f(x1​,x2​,⋯,xn​) 是一复数域上的二次型 (以后都简称为复二次型). 由本章定理 1 , 经过一适当的非退化线性替换后, f ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) f(x1​,x2​,⋯,xn​) 变成标准形.不妨假定它的标准形是 d 1 y 1 2 + d 2 y 2 2 + ⋯ + d r y 1 2 , d i ≠ 0 , i = 1 , 2 , ⋯   ,