最近遇到了一个联合对数正态分布的相关系数的问题，搜遍全网无果，索性自己动手。本文借鉴了这个知乎回答

首先我们有二维正态分布： X , Y ∼ B V N ( μ x , μ y , σ x 2 , σ y 2 , ρ x y ) X,Y\sim \mathbf{BVN}(\mu_x,\mu_y,\sigma_x^2,\sigma_y^2,\rho_{xy}) X,Y∼BVN(μx​,μy​,σx2​,σy2​,ρxy​)

取对数之后我们会得到二维对数正态分布的概率密度函数。只写了第一象限的函数表达式，其他地方都是0。 f ( x , y ) = 1 2 π 1 − ρ x y 2 σ x σ y x y exp ⁡ [ − 1 2 ( 1 − ρ x y 2 ) ( ( ln ⁡ x − μ x ) 2 σ x 2 − 2 ρ x y ( ln ⁡ x − μ x ) ( ln ⁡ y − μ y ) σ x σ y + ( ln ⁡ y − μ y ) 2 σ y 2 ) ] f(x,y)=\frac{1}{2\pi \sqrt{1-\rho_{xy}^2}\sigma_x\sigma_y xy}\exp \left[\frac{-1}{2(1 - \rho_{xy}^2)}\left(\frac{(\ln x-\mu_x)^2}{\sigma_x^2}-\frac{2\rho_{xy}(\ln x-\mu_x)(\ln y-\mu_y)}{\sigma_x\sigma_y}+\frac{(\ln y-\mu_y)^2}{\sigma_y^2}\right)\right] f(x,y)=2π1−ρxy2​ ​σx​σy​xy1​exp[2(1−ρxy2​)−1​(σx2​(lnx−μx​)2​−σx​σy​2ρxy​(lnx−μx​)(lny−μy​)​+σy2​(lny−μy​)2​)]

引用链接里有边缘分布（一维情况下）的期望和方差的推导过程，这里只写结论： E ( X ) = exp ⁡ ( μ x + σ x 2 2 ) D ( X ) = exp ⁡ ( 2 μ x + σ x 2 ) ( exp ⁡ ( σ x 2 ) − 1 ) E(X)=\exp(\mu_x+\frac{\sigma_x^2}{2}) \\ D(X)=\exp(2\mu_x+\sigma_x^2)(\exp(\sigma_x^2)-1) E(X)=exp(μx​+2σx2​​)D(X)=exp(2μx​+σx2​)(exp(σx2​)−1)

接下来想算相关系数。首先我们有相关系数的公式： ρ = C O V ( X , Y ) D ( X ) D ( Y ) = E ( X Y ) − E ( X ) E ( Y ) D ( X ) D ( Y ) \rho=\frac{COV(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}=\frac{E(XY)-E(X)E(Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}} ρ=D(X)D(Y) ​COV(X,Y)​=D(X)D(Y) ​E(XY)−E(X)E(Y)​

关键一步是计算 E ( X Y ) E(XY) E(XY) E ( X Y ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ x y f ( x , y ) d x d y E(XY) = \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}xyf(x,y)\mathbf{d}x\mathbf{d}y E(XY)=∫−∞+∞​∫−∞+∞​xyf(x,y)dxdy

代入 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) E ( X Y ) = ∫ 0 + ∞ ∫ 0 + ∞ 1 2 π 1 − ρ x y 2 σ x σ y exp ⁡ [ − 1 2 ( 1 − ρ x y 2 ) ( ( ln ⁡ x − μ x ) 2 σ x 2 − 2 ρ x y ( ln ⁡ x − μ x ) ( ln ⁡ y − μ y ) σ x σ y + ( ln ⁡ y − μ y ) 2 σ y 2 ) ] d x d y E(XY) = \int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{2\pi \sqrt{1-\rho_{xy}^2}\sigma_x\sigma_y}\exp \left[\frac{-1}{2(1 - \rho_{xy}^2)}\left(\frac{(\ln x-\mu_x)^2}{\sigma_x^2}-\frac{2\rho_{xy}(\ln x-\mu_x)(\ln y-\mu_y)}{\sigma_x\sigma_y}+\frac{(\ln y-\mu_y)^2}{\sigma_y^2}\right)\right]\mathbf{d}x\mathbf{d}y E(XY)=∫0+∞​∫0+∞​2π1−ρxy2​ ​σx​σy​1​exp[2(1−ρxy2​)−1​(σx2​(lnx−μx​)2​−σx​σy​2ρxy​(lnx−μx​)(lny−μy​)​+σy2​(lny−μy​)2​)]dxdy

作变换（"简单的"二次型标准化） u = ln ⁡ x − μ x σ x − ( ρ x y σ y + σ x ) , v = ln ⁡ y − μ y σ y − ( ρ x y σ x + σ y ) u=\frac{\ln x - \mu_x}{\sigma_x}-(\rho_{xy}\sigma_y+\sigma_x),\quad v=\frac{\ln y - \mu_y}{\sigma_y}-(\rho_{xy}\sigma_x+\sigma_y) u=σx​lnx−μx​​−(ρxy​σy​+σx​),v=σy​lny−μy​​−(ρxy​σx​+σy​)

逆变换及其微分 x = exp ⁡ ( σ x u + ρ x y σ x σ y + σ x 2 + μ x ) , y = exp ⁡ ( σ y u + ρ x y σ x σ y + σ y 2 + μ y ) , d x = σ x exp ⁡ ( σ x u + ρ x y σ x σ y + σ x 2 + μ x ) d u , d y = σ y exp ⁡ ( σ y u + ρ x y σ x σ y + σ y 2 + μ y ) d u . x=\exp(\sigma_x u + \rho_{xy}\sigma_x\sigma_y+\sigma_x^2+\mu_x),\\ y=\exp(\sigma_y u + \rho_{xy}\sigma_x\sigma_y+\sigma_y^2+\mu_y),\\ \mathbf{d} x = \sigma_x \exp(\sigma_x u + \rho_{xy}\sigma_x\sigma_y+\sigma_x^2+\mu_x)\mathbf{d}u,\\ \mathbf{d} y = \sigma_y \exp(\sigma_y u + \rho_{xy}\sigma_x\sigma_y+\sigma_y^2+\mu_y)\mathbf{d}u. x=exp(σx​u+ρxy​σx​σy​+σx2​+μx​),y=exp(σy​u+ρxy​σx​σy​+σy2​+μy​),dx=σx​exp(σx​u+ρxy​σx​σy​+σx2​+μx​)du,dy=σy​exp(σy​u+ρxy​σx​σy​+σy2​+μy​)du.

代入 E ( X Y ) E(XY) E(XY)得（节省空间不写积分上下限了，都是无穷） E ( X Y ) = 1 2 π 1 − ρ x y 2 ∬ exp ⁡ [ − 1 2 ( 1 − ρ x y 2 ) ( u + ρ x y σ y + σ x ) 2 − 2 ρ x y ( u + ρ x y σ y + σ x ) ( v + ρ x y σ x + σ y ) + ( v + ρ x y σ x + σ y ) 2 + σ x u + σ y v + 2 ρ x y σ x σ y + σ x 2 + σ y 2 + μ x + μ y ] d u d v E(XY) = \frac{1}{2\pi\sqrt{1-\rho_{xy}^2}}\iint \exp\left[ \frac{-1}{2(1-\rho_{xy}^2)} (u+\rho_{xy}\sigma_y+\sigma_x)^2-2\rho_{xy}(u+\rho_{xy}\sigma_y+\sigma_x)(v+\rho_{xy}\sigma_x+\sigma_y)\\ +(v+\rho_{xy}\sigma_x+\sigma_y)^2+\sigma_x u+\sigma_y v+2\rho_{xy}\sigma_x\sigma_y+\sigma_x^2+\sigma_y^2+\mu_x+\mu_y \right]\mathbf{d}u\mathbf{d}v E(XY)=2π1−ρxy2​ ​1​∬exp[2(1−ρxy2​)−1​(u+ρxy​σy​+σx​)2−2ρxy​(u+ρxy​σy​+σx​)(v+ρxy​σx​+σy​)+(v+ρxy​σx​+σy​)2+σx​u+σy​v+2ρxy​σx​σy​+σx2​+σy2​+μx​+μy​]dudv

化简得到 E ( X Y ) = exp ⁡ ( μ x + μ y + 1 2 ( σ x 2 + 2 ρ x y σ x σ y + σ y 2 ) ) 1 2 π ( 1 − ρ x y 2 ) ∬ exp ⁡ [ − 1 2 ( 1 − ρ x y 2 ) ( u 2 − 2 ρ x y u v + v 2 ) ] d u d v E(XY) =\exp(\mu_x+\mu_y+\frac{1}{2}(\sigma_x^2+2\rho_{xy}\sigma_x\sigma_y+\sigma_y^2)) \frac{1}{2\pi(1-\rho_{xy}^2)}\iint \exp \left[\frac{-1}{2(1-\rho_{xy}^2)}(u^2-2\rho_{xy}uv+v^2)\right]\mathbf{d}u\mathbf{d}v E(XY)=exp(μx​+μy​+21​(σx2​+2ρxy​σx​σy​+σy2​))2π(1−ρxy2​)1​∬exp[2(1−ρxy2​)−1​(u2−2ρxy​uv+v2)]dudv

指数项右边是一个正态分布概率密度的积分，因此等于1，于是得到了一个很简单的形式 E ( X Y ) = exp ⁡ ( μ x + μ y + 1 2 ( σ x 2 + 2 ρ x y σ x σ y + σ y 2 ) ) E(XY) = \exp(\mu_x+\mu_y+\frac{1}{2}(\sigma_x^2+2\rho_{xy}\sigma_x\sigma_y+\sigma_y^2)) E(XY)=exp(μx​+μy​+21​(σx2​+2ρxy​σx​σy​+σy2​))

然后我们把 E ( X Y ) E(XY) E(XY)， E ( X ) E(X) E(X)， E ( Y ) E(Y) E(Y)， D ( X ) D(X) D(X)， D ( Y ) D(Y) D(Y)代入相关系数公式化简得

ρ = exp ⁡ ( ρ x y σ x σ y ) − 1 ( exp ⁡ ( σ x 2 ) − 1 ) ( exp ⁡ ( σ y 2 ) − 1 ) \rho=\frac{\exp \left(\rho_{xy}\sigma_x\sigma_y \right)-1}{\sqrt{(\exp(\sigma_x^2)-1)(\exp(\sigma_y^2)-1)}} ρ=(exp(σx2​)−1)(exp(σy2​)−1) ​exp(ρxy​σx​σy​)−1​

但是这个相关系数的结果有个很奇怪的性质，困扰了我一天，那就是当 σ x ≠ σ y \sigma_x\neq \sigma_y σx​=σy​的时候 ρ \rho ρ取不到 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [−1,1]，我用数字帝国画了个 σ x = 1 ， σ y = 2 \sigma_x=1，\sigma_y=2 σx​=1，σy​=2时的草图，长这样： 然后就怀疑我哪里做错了，后来想着还是拿matlab数值计算一下。代码如下：

结果是0.6505，和图像相符，也就是说二维对数正态分布的相关系数取值范围确实不总是 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [−1,1]。 再附一个画二维正态和二维对数正态概率分布的代码：

画出来是这种感觉： 断断续续算了四天（主要是开始时不知道如何做变换），算的心态爆炸，给个免费的赞再走吧。