この記事では、「二次関数」の定義や公式についてわかりやすく解説していきます。

二次関数における最大値・最小値の求め方、決定・場合分けなどの問題の解き方も詳しく説明していくので、ぜひマスターしてくださいね！

目次

二次関数とは、\(y\) が \(x\) の二次式で表せる関数のことです。

一般に、任意の定数 \(a, b, c\) \((a \neq 0)\) を使って「\(\color{red}{y = ax^2 + bx + c}\)」と表すことができます。

二次関数のグラフは、左右対称な放物線になるという特徴があります。

放物線の向きは、\(x^2\) の係数 \(a\) の正負によって決まります。

放物線のアーチが下にくる場合を「下に凸」、上にくる場合を「上に凸」と表現します。

また、放物線の開き具合も \(a\) の大きさによって決まります。

\(a\) が大きくなるほど、スリムなグラフになりますね。

このように、二次関数の向きやかたちは \(a\) によって決まります。

よって、\(y = 2x^2\) でも \(y = 2x^2 + x + 3\) でも放物線のかたちは同じで、平行移動されただけと考えることができます。

なお、「二次関数のグラフの書き方」は以下の記事で詳しく説明しています。

一般的に、二次関数の平行移動は次のように表せます。

\(y = ax^2\) の二次関数のグラフで、\(x\) 軸方向に \(p\)、\(y\) 軸方向に \(q\) だけ平行移動したグラフは、

\begin{align}\color{red}{y = a(x − p)^2 + q}\end{align}

「グラフの平行移動」については、以下の記事で詳しく説明しています。

放物線のアーチのてっぺんを「頂点」、てっぺんを通る中心軸のことを「軸」と呼びます。

頂点と軸は、関数を平方完成すると次のように求めることができます。

二次関数 \(y = ax^2 + bx + c\) を \(y = a(x − \color{red}{p})^2 + \color{red}{q}\) と平方完成できるとき、

\(y = ax^2 + bx + c\) の頂点の座標および軸の方程式は次のとおりとなる。

「平方完成」について忘れてしまった人は、以下の記事で復習しておきましょう。

また、放物線が \(y\) 軸と交わる点を「切片」といいます。

これは一次関数などと同じで、\(x = 0\) のときの座標ですね。

二次関数 \(y = ax^2 + bx + c\) の切片の座標は、

\begin{align}\color{red}{(0, c)}\end{align}

一次関数 \(y = ax + b\) では \((\text{傾き}) = (\text{変化の割合}) = a\) と習いましたが、二次関数ではどうでしょうか？

二次関数の傾きと変化の割合は、グラフ上の点の位置によって変化します。

つまり、二次関数における傾きや変化の割合は係数 \(a\) とはまったく関係ないので注意しましょう。

二次関数は、以下の \(3\) とおりの方法で表すことができます。

問題でわかっている情報に応じて、上記の公式を使い分けて二次関数を表現するのが大切です（→ 二次関数の決定の問題）。

以上が二次関数の特徴や公式でした。

次の章から、二次関数のさまざまな問題の解き方を説明していきます！

まずは、二次関数の基本問題の解き方を解説します。

\(f(x) = x^2 − 4x + 3\) において、\(f(−2)\) を求めよ。

ある関数のことを、関数 Function の頭文字をとって「\(f(□)\)」と表します。

\(x\) についての関数なら \(f(x)\)、\(z\) についての関数なら \(f(z)\) ですね。

横軸に \(x\)、縦軸に \(f(x)\) の値をとるグラフを「\(y = f(x)\)」と表現できます。

\(f(−2)\) とは、関数 \(f(x)\) に \(x = −2\) を代入したときの値ですね。

\(\begin{align} f(−2) &= (−2)^2 − 4 \cdot (−2) + 3 \\ &= 4 + 8 + 3 \\ &= 15 \end{align}\)

答え：　\(\color{red}{f(−2) = 15}\)

次の関数の値域を求めよ。

\(y = 2x^2 − 4x + 5\)　\((−1 < x \leq 4)\)

二次関数は放物線なので、定義域の両端が値域の両端になるとは限りません。

定義域や値域を求める問題では、頂点がどこにあるかを必ず把握しましょう。

グラフを書くとわかりやすいです。

その際、範囲の「\(