线性代数05 齐次/非齐次线性方程组的具体解集 |
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通过线性代数系列博客03，我们了解了齐次线性方程组与非齐次线性方程组，了解了线性方程组的系数矩阵的行列式与解的情况的关系。接下来我们就要探究，如果我们需要具体求解线性方程，我们需要怎么做？ 在具体了解求解线性方程组的过程之前，我们需要先明确几个概念。 1 明确概念（1）齐次线性方程组：常数项全为0的线性方程组 （2）齐次线性方程组的解的情况：零解，或者非零解。 在这里，我们只需要讨论非零解的具体情况就好了。因为对于零解的情况，我们只需要算出来它的系数矩阵的行列式det A≠0即可。 基础解系 在聊基础解系之前，先讨论一个概念：解空间w，对于齐次线性方程组来说，它的解空间是齐次线性方程组的解集所构成的一个向量空间。对于非零解的情况下，此空间不是一个零空间（nullspace），因此我们可以在这个空间中知道一组向量，作为解空间w的一个基。 这样的一个基，我们就称为齐次线性方程组的一个基础解系。 （基：若空间中的任意一个向量都可以由一组线性无关的向量通过线性组合的方式表示，这样的一组向量，我们称为空间的基）这里也可以得到基础解系的官方定义：齐次线性方程组的解集的极大线性无关组 通解 对于齐次线性方程组的解集来说， η 1 , η 2 , . . . . . . . , η n \eta_{1},\eta_{2},.......,\eta_{n} η1,η2,.......,ηn 若存在一组解向量 η 1 , η 2 , . . . . . . . , η t ( t < = n ) \eta_{1},\eta_{2},.......,\eta_{t}(t |
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