推导如下:

设离原点距离为 x 处截面的弯矩为,挠度为;

则有                             ;

则挠曲线微分方程为   ;

令,     则          ,

      ,进而有

     ,

由边界条件知：

则该方程组为关于的齐次线性方程组，又不能全为0，

故该方程组有非零解，则方程组系数矩阵行列式为0，即

解该超越方程，得 kl 的大于 0 的最小值为 4.49，取 kl=4.49，使压力为最小值.(可用matlab或者卡西欧计算器对超越方程进行求解)

 故临界压力为     .

设离原点距离为 x 处截面弯矩为 ,挠度为 ; 则 ;

则挠曲线微分方程为 ;

令 ,    得       ,

解得 , 由边界条件知：;

    可轻易得              ；

又  因为如果  ,那么 ,即杆件未发生变形,

    那么这就与杆在受压时发生微小变形相矛盾，所以  不成立.

    进而           

    故              

又由于 n=0 时，F=0 ,此时杆件未受压力，这与我们所讨论的情况不符,

    故取 n=1,使压力为最小值，

   所以此时压杆的临界压力为

设离原点距离为 x 处截面的弯矩为  ,挠度为 ;则 ;

则挠曲线微分方程为 ; 

令 ,        ;

从而得通解  ,所以  ;

由边界条件知： ;

得到                                        ;

这是关于  的一个齐次线性方程组 ，又因为  不能均为0，

故该方程组必有非零解，所以其系数矩阵行列式为0；

进而有                            ;

 或 ;

又当  时，，即杆不受压力，这与讨论的情况不符，故舍去，

;

,  故取 n=1,使 F 为最小值，

所以此时压杆临界压为           .

设压杆两端受压力为  ,弯矩为  ,如图所示，

设离原点距离为 x 处截面的弯矩为  ,挠度为 ;则  ;

则挠曲线微分方程为;

令 ;     则     ;

可得通解为,则 ；

由边界条件， ;

得                                   ;

由上式可以直接解得    ;

从而  满足 ;

;

又因为 n=0 时，F=0，即杆不受压力，这与讨论的情况不符；

故取 n=1 ,使压力为最小值；故此时压杆临界压力为

以上便是四个基本类型的细长压杆的临界压力（欧拉公式）的推导过程，下面再来看看具体问题中应该如何使用这种推导的思维和方法吧。

（2020年南京航空航天大学816材料力学）

如图所示，空心细长杆弹性模量为，长度为  ,外径为  ,内径为  均已知，细长杆一端与地面固定，另一端与不可伸长的绳相连，仅考虑平面内稳定性，试推导临界载荷公式。

由于绳不可伸长，故杆受压时只能往左侧弯曲，如下图所示：（为绳对杆的拉力）

设离原点距离为 x 处截面弯矩为,挠度为 ,

则  ;

挠曲线微分方程为     ;

令, 则  ;

,

进而     ;

然后找边界条件  ;

由悬臂梁在集中力作用下的挠度公式，得  ;

所以有  ;

故由边界条件和  式，可得到一个方程组如下：

该方程组为关于  的齐次线性方程组，且  不能均为0，

故该方程组一定有非零解，所以其系数矩阵行列式为0；

从而                              ;

即               ;

解该超越方程，得满足条件的 kl 的最小值为 4.69 ，故取 kl=4.69 ，使压力值最小.

则该压杆的临界压力为

        .

后面会补充纵横弯曲下的最大正应力和最大挠度的问题。