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定理1 设矩阵
A
m
×
n
A_{m\times n}
Am×n，
B
n
×
s
B_{n\times s}
Bn×s满足
A
B
=
O
AB=O
AB=O，则 (1)
B
B
B的各列均为齐次线性方程组
A
x
=
0
A\bm{x}=\bm{0}
Ax=0的解； (2)
r
(
A
)
+
r
(
B
)
≤
n
r(A)+r(B)\le n
r(A)+r(B)≤n； (3) 若
A
≠
O
A\ne O
A=O且
B
≠
O
B\ne O
B=O，则
A
A
A的列向量组线性相关，
B
B
B的行向量组线性相关。
证明： (1) 将
B
B
B按列分块，得
B
=
(
b
1
,
b
2
,
…
,
b
s
)
B=(b_1, b_2, \dots,b_s)
B=(b1,b2,…,bs)，其中
b
i
b_i
bi是
n
n
n维列向量，则
A
B
=
A
(
b
1
,
b
2
,
…
,
b
s
)
AB=A(b_1, b_2, \dots,b_s)
AB=A(b1,b2,…,bs)，再由分块运算法则得
A
B
=
(
A
b
1
,
A
b
2
,
…
,
A
b
s
)
=
O
=
(
0
,
0
,
…
,
0
)
AB=(Ab_1, Ab_2, \dots,Ab_s)=O=(\bm{0},\bm{0},\dots,\bm{0})
AB=(Ab1,Ab2,…,Abs)=O=(0,0,…,0)，故
{
A
b
1
=
0
A
b
2
=
0
…
A
b
s
=
0
\begin{cases}Ab_1=\bm{0}\\Ab_2=\bm{0}\\\dots\\Ab_s=\bm{0}\end{cases}
⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧Ab1=0Ab2=0…Abs=0 则
B
B
B的各列
b
i
b_i
bi均为齐次线性方程组
A
x
=
0
A\bm{x}=\bm{0}
Ax=0的解。 (2) 由基础解系的性质可知
b
i
b_i
bi一定可以被齐次线性方程组
A
x
=
0
A\bm{x}=\bm{0}
Ax=0的基础解系线性表示，故
r
(
B
)
≤
r
(
A
的基础解系
)
=
n
−
r
(
A
)
r(B)\le r(A\text{的基础解系})=n-r(A)
r(B)≤r(A的基础解系)=n−r(A)。
∴
r
(
A
)
+
r
(
B
)
≤
n
\therefore r(A)+r(B)\le n
∴r(A)+r(B)≤n。 (3) 由(1)知齐次线性方程组
A
x
=
0
A\bm{x}=\bm{0}
Ax=0有非零解。将
A
A
A按列分块，得
A
=
[
α
1
α
2
…
α
n
]
A=\begin{bmatrix}\bm{\alpha}_1&\bm{\alpha}_2&\dots&\bm{\alpha}_n\end{bmatrix}
A=[α1α2…αn]，结合
x
=
[
x
1
x
2
⋮
x
n
]
\bm{x}=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}
x=⎣⎢⎢⎢⎡x1x2⋮xn⎦⎥⎥⎥⎤得
A
x
=
x
1
α
1
+
x
2
α
2
+
⋯
+
x
n
α
n
=
0
A\bm{x}=x_1\bm{\alpha}_1+x_2\bm{\alpha}_2+\dots+x_n\bm{\alpha}_n=\bm{0}
Ax=x1α1+x2α2+⋯+xnαn=0，其中
x
≠
0
\bm{x}\ne\bm{0}
x=0，因此
α
1
,
α
2
…
,
α
n
\bm{\alpha}_1,\bm{\alpha}_2\dots,\bm{\alpha}_n
α1,α2…,αn线性相关，即
A
A
A的列向量线性相关。再在原式两端取转置得
B
T
A
T
=
O
T
=
O
B^TA^T=O^T=O
BTAT=OT=O，则
B
T
B^T
BT的列向量线性相关，故
B
B
B的行向量线性相关。
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