在每个方程组中，未知量只具有常系数，这些未知量之间只进行加和，没有幂次、没有函数等。这就被成为线性方程组。

线性方程组就是矩阵A和$\vec{x} $的乘积：A是系数，$\vec{x} $是向量，以及他们的乘积$\vec v$向量。

从几何的角度来思考，矩阵A表示一个线性变换（即记录下线性变换的操作），我们需要找到一个$\vec x$使得它在变换后和$\vec v$重合。

使用之前的几何直观来翻译个公式即$\vec{x} $经过 A矩阵变换后，恰好落在$\vec v$向量上，如下图：

如何求 $\vec{x} $。逆向思考，从$\vec{v} $ 出发，进行某一个矩阵变换，恰好得到$\vec{x} $ 。而这个反过来的矩阵变换，就称为 A矩阵的逆矩阵，写成公式是：

所以通过在A矩阵的左侧乘以一个A的逆矩阵就得到求解$\vec{x} $的方程。

弹幕：伴随就是不但把变化后的向量拉回到原向量的位置，还要把向量拉伸的再缩放回去，就等于是把一个向量的方向和大小都给它变回基向量的位置。

对于方程组$A\vec x = \vec v$，线性变换A存在两种情况：

$det(A) =0$：空间被压缩到更低的维度，这时不存在逆变换，因为不能将一个直线解压缩为一个平面，这不是函数能做到的，压缩不可逆：

即使不存在逆变换，但解可能仍然存在，如果很巧，$\vec v$ 刚好落在压缩后的空间上：

$det(A) \neq0$：这时空间的维数并没有改变，有且只有一个向量经过线性变换后和$\vec v$重合。

除了0行列式外，我们还有特殊的属于来描述上述“压缩”、“解压缩”、解的存在情况，即——秩。

秩为1：变换后的结果是一维的，也就是落在一条直线上

秩为2：变换后落在一个平面上

不管是一条线、一个平面还是三维空间，所以可能变换的结果的集合被称为矩阵的列空间，即所有列向量张成的空间。所以秩更精确的定义是列空间的维数。

当秩达到最大值时，意味着秩与列数相等，成为满秩。

变换后基向量张成的空间就是所有可能的变换结果；列空间就是矩阵的列张成的空间。更精确的定义——秩是列空间的维数

注意：压缩就是变换，变换就是矩阵，其实说的就是矩阵

变换后落在原点上的向量的集合称为矩阵的零空间或核。

当$A\vec x = \vec v$中的$\vec v$是一个零向量，即$A\vec x = \begin{bmatrix}0 \\0\end{bmatrix}$时，零空间就是它所有可能的解。

这就是基础解系，而特解就是在变换后得到的直线空间上找的向量；

这里对应齐次方程组解的两种情况；这也解释了，为什么齐次线性方程组在系数矩阵不满秩的时候有无穷姐解；

压缩后在列空间内，说明之前就在原空间内，所以有解。而不在压缩后的空间内，说明原本就不在与原空间内，自然无解。；

AX=V，V经过A的变换后，如果落在A组成的列空间内，则有解，否则无解

Ps：没有升维，这是三维空间中的二维子空间。

即这是三维空间中的二维平面。

三维空间映射到二维空间：上图3×2的矩阵表示将一个三维空间映射到二维空间上。

二维空间映射到一维空间：一个$1\times 2$的矩阵：$\begin{bmatrix}1&2 \end{bmatrix}$表示一个二维空间映射到一维空间。

弹幕：与其说是降维，不如说是3D空间在2D空间的“投影”，就像手电筒照射物体投影在墙面一样。

总结：

【直观详解】线性代数的本质 | Go Further | Stay Hungry, Stay Foolish (charlesliuyx.github.io)

参考文献：【直观详解】线性代数的本质 | Go Further | Stay Hungry, Stay Foolish (charlesliuyx.github.io)

线性代数 | null (sanzo.top)

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