零空间是对于一个矩阵 ,满足线性系统 ,所有的解 组成的向量空间。由于矩阵 零空间本身隐藏在矩阵 的内部,所以它的存在相对抽象。
构造零空间的基
构造一个矩阵 的零空间的基,本质是对求出线性系统 的解空间进行简单变形,从而得到零空间的基。
示例说明:
存在矩阵A,通过高斯消元求取它的行最简形式:
从系数矩阵A 的行最简形式得到线性系统 的解 的形式如下:
这个解的形式显示了组成线性系统 的任意一个解的内部分量所存在的线性关系, 和 这两个分量可以由其它四个分量 的线性组合所表示。将所有解改写成列向量形式:
从解的列向量形式可以看到对分量 取任意实数 ,就可以得到线性系统 的所有解空间的其中一组解 ,这个解可通过单独提出分量 拆分成以下形式的线性组合进行表示:
拆分后得到的四个线性无关的向量 ,通过这四个向量的线性组合 就可以表示出线性系统的解 ,意味着线性系统的解 构成的空间就是向量 的生成空间,也就是系线性系统系数矩阵 的零空间。由空间的基的定义(给定 维空间的一组基,则空间中的任意一个向量都可以表示成这组基的线性组合)可知,这个四个线性无关向量 就是它们生成空间的基,也是线性系统系数矩阵 的零空间的基,这个空间的维度就是 。
综上,对于线性系统 ,把系数矩阵 化为行最简形式之后,自由列的列数就是矩阵A的零空间的维度:
矩阵的行最简形式的一般形式
秩-零度化定理
对于一个 的矩阵有,将其化为行最简形式后,主元列数为其列空间的维度,也就是矩阵的秩,同时也是矩阵行空间的维度。当求出矩阵的主元列列数 ,则矩阵的自由列列数(也就是矩阵的零空间的维度)等于 。就有 。
列空间的维度也就是矩阵的秩,零空间的维度的专业名词叫做
![\therefore 秩-零度化定理: \ \ \ 秩(rank) +零化度(Nullity) = n](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Ctherefore%20%E7%A7%A9-%E9%9B%B6%E5%BA%A6%E5%8C%96%E5%AE%9A%E7%90%86%3A%20%5C%20%5C%20%5C%20%E7%A7%A9(rank)%20%2B%E9%9B%B6%E5%8C%96%E5%BA%A6(Nullity)%20%3D%20n)
零空间的维度为0
零空间的维度等于一个矩阵的行最简形式中自由列的个数,当一矩阵全部都是主元列的时候,也就是一个 的矩阵的列空间的维度为 的时候,矩阵的零空间维度为0。对于一个方阵来说,即为满秩的时候,矩阵的零空间维度为0
理解上一章节线代--零空间中最后的疑惑
为什么对于两个平面(二维欧式空间),它们在三维空间内不可能正交的,它们只可能在四维空间中出现正交。
首先,矩阵的零空间是与矩阵的行空间正交的一个空间,零空间内的任意向量垂直于行空间的所有向量;
对于一个 的矩阵来说,行空间和零空间都是一个 维空间的子空间;
假设矩阵的行空间是一个二维欧式空间的话,那么矩阵的零空间的维度是 ;
如果 ,就是在一个三维空间内,同时能存在一个二维子空间和一个一维子空间正交;
当 ,就是在一个四维以上的空间内,当存在一个二维的子空间(矩阵的行空间)的前提下,能找到另一个二维子空间(矩阵的零空间)与矩阵的二维行空间正交。所以两个二维欧式空间正交只能在四维以上的空间内发生。
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