绪 论

物理学本质上是一门实验科学，物理实验是物理学理论的建立基础和检验手段，无数个成功的物理实验推动了人类文明的进步和科学技术的发展，这些实验也凝聚了物理学家丰富的思想、巧妙的方法、有效的手段、扎实的理论知识和精准的操作技术。物理实验课就是通过实验教学，使学生领会实验思想、学会实验方法、掌握实验手段，发挥聪明才智，把理论知识创造性地应用到实践中来，培养和提高科学实验能力。

一、物理实验课的地位和作用

学生知识、能力、素质的协调发展是高等学校教育教学的共同目标，2010年教育部启动实施了“卓越工程师教育培养计划”，其主要目的是培养具有较强创新能力的高质量工程技术人才。在这样的大环境下，高等院校各专业，尤其是理工类专业，对学生应用技能、创新意识的培养显得尤为重要。物理实验课为培养学生基本实践技能提供了一个宽阔的平台，是目前理工类专业受益面最广的独立开设的公共基础实践课程之一，是学生科学实验能力的培养过程中基础而关键的一个环节。物理实验与大学物理课程既有联系，又相对独立，自成体系，在教学内容、教学形式、教学手段和方法等各方面都拥有自身的特色。

物理实验课内容上覆盖物理学中的力学、热学、电磁学、光学和近代物理等各领域，具有丰富的实验思想、方法、手段，是培养学生科学实验能力、提高科学素质的重要基础。它在培养学生严谨的治学态度、活跃的创新意识、理论联系实际和适应科技发展的综合应用能力等方面具有其他实践类课程不可替代的作用。

二、物理实验课的任务

物理实验课的具体任务是：

1、培养学生的基本科学实验技能，提高学生的科学实验基本素质，使学生初步掌握实验科学的思想和方法。培养学生的科学思维和创新意识，使学生掌握实验研究的基本方法，提高学生的分析能力和创新能力。

2、提高学生的科学素养，培养学生理论联系实际和实事求是的科学作风，认真严谨的科学态度，积极主动的探索精神，遵守纪律，团结协作，爱护公共财产的优良品德。

三、物理实验课的教学内容

1、实验内容。在学生所做的有限个物理实验题目中，普通物理（力学、热学、电磁学、光学）实验和近代物理实验数目应合理、均衡分配，保证知识传授和能力培养的全面性。

2、数据处理方法。学生要学会读取和记录数据，用列表法、作图法、逐差法、最小二乘法等处理数据，用计算机处理数据，估算误差，用不确定度来评价实验结果。

3、基本物理量测量。会选择合适器具和技术对长度、质量、时间、温度、压强、电流、电压、电阻、磁感应强度、折射率、电子电荷、普朗克常量等常用物理量及物理参数进行精确测量，包括运用数字技术和计算机技术。

4、实验方法。掌握比较法、转换法、放大法、模拟法、补偿法、平衡法和干涉、衍射法的基本原理和应用技巧，同时对不断涌现的新方法要及时了解和运用。

5、实验仪器。掌握常用仪器的结构原理和性能，并能熟练使用。这些仪器包括：长度测量器具、计时仪器、测温仪器、变阻器、电表、电桥、示波器、信号发生器、分光仪、常用电源和光源等，在有条件的情况下应逐步引入现代技术和设备，如激光技术、传感器技术、微弱信号检测技术、光电子技术等。

6、实验操作技术。实验中会用到零位调整、水平/铅直调整、光路的等高共轴调整、消除视差调整、逐次逼近调整、按图（或设计）连接电路、电路故障排除等基本操作技术，这些技术要在反复应用中予以熟练掌握。

7、了解一些经典、著名实验，尤其是获得诺贝尔物理学奖的实验的背景知识，以期从中得到启迪。

四、物理实验课的教学形式

1、关于统一排课和自主选课

物理实验课的排课方式可分为两种：一种是统一排课，即实验课表由教务管理部门或授课单位统一编排，一个班的全体或部分学生同时按指定的时间、地点去上指定题目的实验课；另一种是自主选课，即实验授课单位在教务主管部门安排下，在指定时间开放指定实验室，学生在选课规则限制下提前预约实验题目和上课时间，按预约结果上课。

目前这两种排课方式并存，各有所长。统一排课的优点是便于管理，便于收集和发放实验报告，便于循序渐进地安排实验题目的先后顺序；其不足是排课工作复杂，牵制因素多，无法体现学生的专业差异和个人兴趣，学生也不能掌控自己的上课时间，请假、补课甚至旷课的现象时有发生。自主选课的优点管理者排课简单，学生能够根据自己的时间安排和兴趣爱好选择适当的时间和实验题目，提高了实验教学的开放水平；其不足是选课系统软、硬件投入和维护需要一定的投入，收、发实验报告零散，有些信息不能集中地以班级为单位进行反馈，造成一定的管理失效。

2、关于分层次教学

物理实验课实行分层次教学，即将实验题目根据难易程度及每个实验的特点分为基础性、综合性、设计性和研究性三个层次，在教学中遵循实验内容由浅入深、实验方法由简到繁、实验仪器由易到难、实验过程由被动到主动的原则合理、有序地安排实验题目。一般实验题目采取分轮次开出的形式，即在一门课程的教学过程中分为几个轮次，第一轮次是最基本、最简单的实验，其后每一轮实验的难度逐渐提高。下面对基础、综合和设计性实验分别加以介绍。

（1）基础性实验

基础性实验主要使学生学习和掌握基本物理量的测量、基本实验仪器的使用等基本实验技能和基本测量方法、误差与不确定度及数据处理的理论与方法等，能在老师指导下完成实验。

（2）综合性实验

综合性实验是指在同一个实验中涉及到力学、热学、电磁学、光学、近代物理等多个知识领域，综合应用多种方法和技术的实验。此类实验的目的是巩固学生在基础性实验阶段的学习成果、开阔学生的眼界和思路，提高学生对实验方法和实验技术的综合运用能力。综合性实验也在老师指导下完成。

（3）设计性实验

设计性实验：根据给定的实验题目、要求和实验条件，由学生自己设计方案，经老师审核并反复修改后，学生自行搭建实验装置、设计实验过程和方法，独立完成实验。

（4）研究性实验：教师提出或学生自拟实验课题，学生以个体或团队的形式，以科研方式进行的实验。

设计性或研究性实验的目的是使学生了解科学实验的全过程、逐步掌握科学思想和科学方法，培养学生独立实验的能力和运用所学知识解决给定问题的能力。

五、物理实验课的教学过程

物理实验是在教师指导下进行的以学生独立操作为主的实践教学活动，主要程序及要求如下：

1、课前预习

实验前应认真预习，撰写预习报告或设计性实验实施方案，明确实验目的和要求，了解实验的步骤、方法和基本原理，熟悉实验设备、仪器的构造、使用性能和操作规程。条件允许的情况下要到实验室预习。

2、课堂教学过程及注意事项

（1）进入实验室对号入座，向指导教师递交预习报告并签到。检查仪器和材料，若有缺失或损坏应向老师报告解决，不得擅自动用非本组器材，更不能自行拆卸任何仪器设备。

（2）实验中应服从教师指导，严格按规定和程序进行实验，如实记录实验数据，不得编造和抄袭他人的实验结果。

（3）实验过程中要注意安全，节约水、电及其它材料。凡因违反操作规程或擅自动用其它仪器设备而导致损坏者，必须按规定进行严肃处理。仪器设备发生故障和损坏，应主动停止实验，并立即向指导教师报告。

（4）遵守实验守则。电学实验中，必须经过教师检查线路，得到允许后才能接通电源。光学元件要轻拿轻放，仔细安装，避免碰撞。不许用手触摸光学元件的光学表面，只准触及周边棱或棱镜的上下底面。不得擅自擦拭光学元件，应在教师指导下进行。使用激光作光源时要避免激光束直射眼睛。

（5）实验完毕，经教师认可并在数据记录表格上签字后，关闭水和电源，将仪器得原，填写有关记录，经教师允许方可离开实验室。实验结果不合格者必须重做。

3、按要求认真独立完成实验报告并及时上交，对教师批阅完的实验报告要做好总结和分析。

4、因故补做或重做实验，学生要事先预约，并在指导教师或实验技术人员的指导下方可进行实验。

六、关于实验报告

实验报告作为每个实验最后的总结，是学生科研素质培养的重要手段，也是整个实验的完成情况、学生实验技能和数据处理能力的集中表现，是评定实验课成绩的依据之一。学生应规范地撰写实验报告。

1、实验报告必须采用专用的实验报告纸撰写。

2、为了保证实验数据的真实性，报告的所有文字内容，包括表格和数据、图的标题等都必须用钢笔、中性笔或圆珠笔书写。所有图都可以用铅笔画，画直线必须用直尺。

3、实验报告不要完全照抄教材或指导书，应该简明扼要地提炼。

4、一份完整的实验报告包括以下几个部分：

（1）各种信息

实验信息：实验题目编号和名称；

实验者信息：姓名、学号、班级等。

实验条件信息：时间，实验地点，天气，温度，湿度，气压等；

分组信息：分组号，多人合作的同组人；

指导老师姓名。

（2）实验名称：每一个物理实验一定的命名规则，要求规范地书写，不得有任何改动。

（3）实验目的：说明所做实验的目的和要求。

（4）实验仪器：写全实验所需的各种仪器和工具，明确实验仪器的名称，型号，测量范围及仪器误差，掌握读数规则。

（5）实验原理：包括实验中采用的仪器设备的工作原理，实验方法，相关理论等。在理解的基础上用精炼的语言对教材或指导书的内容加以总结和概括，必要时可以补充一些教材以外的内容。与实验操作和数据处理相关的、必要的原理图和公式不可缺少。

（6）实验内容与步骤：在掌握概念的基础上，按操作顺序书写，不得有遗漏。

（7）数据记录与处理。将原始数据记录到给定或自拟的数据表格中并请指导教师认可签字。实验结束后按要求处理数据（包括计算中间结果，评定不确定度，画出图表，写出最终结果）。注意：原始数据不能用铅笔书写，不得涂抹，若写错只用一横线划掉再在旁边写上正确数据即可。

（8）思考题：对实验结果进行分析，讨论影响实验结果的的因素并可提出改进建议，完成课后思考题。

预习报告要求写好（1）—（6）步，并画好数据记录空白表格，实验前交指导教师检查。实验完成后数据表格要经教师确认签字。实验报告不准打印或复印，书写字迹要工整，报告不合格者将予以退回并取消当次实验资格。实验完成后要尽快处理数据并及时上交。

七、成绩考核与评定

物理实验的成绩考核有实验考查和理论考试两种形式，可根据实际情况采用前者或两者结合，但鉴于课程的实践性应以实验考查为主。

1、实验考查成绩

实验考查成绩，由学生所做实验按学时权重平均计算，每个实验的考查内容包括（1）出勤；（2）预习；（3）纪律；（4）规范的实验操作；（5）准确的数据处理（有效数字，不确定度或误差，结果表达，单位，等等）；（6）实验报告的格式和整体印象（工整、美观）；（7）及时上交报告。

2、理论考试成绩

理论考试内容一般安排在学期末进行，主要以实验的理论知识为主，即本教材的绪论、第1~4章所涉及的内容，另外还会涉及到一些基本技术和常识问题，包括实验实例判断与分析。

第一章 测量、误差及不确定度

物理实验的基本任务是培养学生的科学实验技能，完成这一任务的主要途径就是对各种物理量使用不同的方法进行测量和分析。对每一个物理量的测量，实质上也是对未知客观世界的一次主观探索，所得到的结果与客观实际或多或少会有差距，这就是误差。随着测量技术的不断提高，人们一直在努力减小误差，以获得较满意的测量结果，一般用不确定度来评价测量结果的优劣。

1.1 测量及其分类

测量（measurement）是物理实验的主要内容和基本手段，是获得实验数据的必要途径。所谓测量，就是将被测的未知物理量（physical quantity）与事先选作计量标准（measurement standard）的同类已知物理量进行比较，得出其倍数的过程。倍数值即为被测量（measurand）的数值（value），而所选的计量标准称为单位（unit）。一个物理量测量结果（result of measurement）的完整表示应该包括数值、单位以及测量不确定度（uncertainty of measurement），有的还要标明测量条件。

测量的分类方法很多，这里只介绍两种。

一、按测量值获取方式的不同，把测量分为直接测量和间接测量

直接测量是指直接从仪器或量具上就能够直接读出待测物理量数值和单位的测量。相应的物理量称为直接测量量。例如，用米尺测长度，用秒表测时间，用天平称质量，用电表测电流和电压等都属于直接测量。

间接测量是根据已知的函数关系，先测得若干个直接测量量，由这些直接测量量通过运算后间接得到待测物理量的测量。最终得到的物理量称为间接测量量。例如，通过测量一金属圆柱的高h、直径d和质量m，然后由关系式ρ=4m/πd2h计算出该金属圆柱的密度ρ，这里m、d和h是直接测量量，而ρ则是间接测量量。

某一物理量是直接测量量还是间接测量量不是绝对的，随着技术的更新和仪器的改进，很多原来不能直接测量的物理量现在已经可以直接测量。如用密度计测液体密度、用多普勒原理测速度等。

二、根据测量条件是否相同，把测量分为等精度测量和不等精度测量

在每次测量条件都相同的情况下，对某一物理量进行多次重复的一系列测量称为等精度测量。例如，同一个实验者，使用同一台（套）仪器，采用同一种方法，在相同环境条件（温度、湿度、气压、光照等）下对同一待测量进行多次重复测量，没有任何依据用来判断某一次测量一定比另一次更准确，即每次测量的可靠程度都相同，这一组测量就可认为是等精度测量。这样的一组测量值称为一个测量列。需要强调的是，这里所说的重复测量不仅仅是重复读数，而是重复整个测量操作过程。

在对某一物理量进行的多次重复测量中，只要有一个测量条件改变，这一组测量就称为不等精度测量。实验者、仪器、实验方法，包括某些对该物理量有影响的环境因素如室温等其中任何一项的改变，都属测量条件的改变，所以这样的测量都属不等精度测量。

在物理实验教学的实际环境中，很难保证多次测量过程中条件绝对相同，但如果测量条件的变化对测量结果影响不大，可以把这样的测量视为等精度测量。例如，一堂物理实验课的时间一般为3学时左右，在其它实验条件都不变的情况下，室温会发生一定幅度的变化，但这对很多实验仪器和物理量来说影响非常小，所以可以认为所进行的测量是等精度测量。许多仪器使用前要进行预热，也是为了达到长期的稳定工作状态而实现等精度测量。等精度测量所得数据比较容易处理，大学物理实验中一般都是等精度测量，本书中若无特殊说明，一律认为是等精度测量。

1.2 误差

一、误差的定义

在确定条件下，待测物理量实际具有的量值称为真值（true value）。测量的主观愿望是获得物理量的真值，但由于受到测量仪器、测量方法、测量条件以及观测者水平等因素的限制，任何测量值都不可能绝对精确地与真值完全一致，客观上只能获得该物理量的近似值，这个近似值与真值之间总是存在一个差值，这个差值称为测量误差，简称误差，记为

Δx=x-X

式中，x表示测量值，X表示被测物理量的真值。由于Δx可正可负，反映的是测量值偏离真值的大小和方向，因此也称之为绝对误差。绝对误差是一个有量纲的数值，单位与测量值、真值相同，一般保留一位有效数字。

以百分数表示的误差与真值之比称为相对误差，记为

相对误差是一个无量纲量，通常也称百分误差，一般保留1或2位有效数字。

真值是客观存在的，但它必须通过完备的测量才能得到，而严格完备的测量是根本做不到的，所以说真值仅是一个理想的概念，不可能确切获得。在一些具体问题中，一般把约定真值（conventional true value of a quantity）作为真值看待。所谓约定真值，就是就是与真值非常接近，在一定条件下能代替真值的给定值或公认值。如上所述，真值本身难以得到，而误差是通过真值计算得来的，所以误差也是一个估计值，难以定量操作，只有理论上的意义。现在很多情况下不用误差来评定实验结果的优劣，而改用不确定度。关于不确定度将在内容§1.3中加以介绍。

误差客观地存在于一切实验和测量过程中，并将最终传递给实验结果。正常测量的误差是不可避免的，应该对其进行客观地估计。在实验中应该从实验的设计、仪器的精度、测量者的水平、环境条件以及数据处理过程等各方面来源着手尽可能减小其对实验结果的影响，因此误差分析或不确定度的评定也是物理实验中必不可少的一项内容。

二、误差的分类

正常测量的误差按照其产生的原因以及基本性质，可分为系统误差和随机误差。另外，由于实验者操作不当或粗心大意等造成的粗大误差，属于非正常测量的范畴，应该严格避免。

1、系统误差

在相同条件下多次测量同一物理量时，误差的大小恒定，方向一致；或当测量条件改变时，误差按照某一规律变化。具有上述特征的误差称为系统误差（systematic error）。系统误差的来源主要有以下几方面：

（1）仪器因素：由于仪器本身的固有缺陷、校正不完善或使用不当引起的误差；

（2）方法因素：由于测量方法本身的不完善或计算公式的近似造成的误差，如用三线摆测量刚体的转动惯量时，公式

成立的条件应该是摆角趋于零而且摆线不发生形变，但实际做不到，只能是近似处理；

（3）环境因素：由于环境影响或没有按规定的环境使用仪器引起的误差。如标准电池未在规定的温度下使用且又未进行修正；

（4）人员因素：由于实验者本人生理或心理特点造成的误差。例如：按秒表时总是超前或滞后等。

2、随机误差：

随机误差（random error）也称偶误差，指在多次测量同一物理量时，大小、方向以不可预知的方式变化的误差。产生随机误差的因素主要有：

（1）实验仪器的灵敏度和稳定性有限；

（2）测量者感觉器官灵敏度的起伏；

（3）实验条件和环境，如温度、湿度、气流、电源电压的起伏；

（4）其它不能预料的原因。

3、粗大误差：

粗大误差（parasitic error）也叫过失误差，是由于实验者在操作、计数、记录和运算过程中出现失误而使测量结果明显歪曲远离真值而造成的误差。其特点是测量值大大地偏离真值而使数据的结构显著地偏离正常规律，该测量值称为坏值,在数据处理时应按一定的原则判别并剔除之。粗大误差严重影响实验效果时实验要重做。实验者应该通过主观努力，加强责任心，实验前充分预习，操作和记录时集中精力，等等，尽力避免粗大误差的出现。

三、测量的精密度、正确度和准确度

精密度、正确度和准确度都是评价测量结果优劣的术语，但在实验应用时三个术语的界定不太一致，这里只介绍一种应用较多的界定方法。

1、精密度：指对同一物理量进行多次重复测量时，各次测量值之间彼此的接近程度。精密度反映的是随机误差的大小，精密度越高，各次测量值越接近，随机误差越小。

2、正确度：指被测值的总体平均值与真值的接近程度。正确度反映的是系统误差的大小，正确度越高，测量量的平均值越接近真值，系统误差越小。

3、准确度：又称精确度，是各测量值之间的接近程度和测量值总体平均值与真值的接近程度的综合表现。准确度反映的是系统误差与随机误差大小的综合程度。

为了形象地理解精密度、正确度和准确度的意义及它们之间的关系，我们可以把测量结果的分布比作打靶时弹着点的位置，如表1.1-1所示。

表1.1-1 精密度、正确度和准确度

精密度

低

低

高

高

正确度

低

高

低

高

准确度

低

——

——

高

打靶的弹着点位置

正态分布曲线

四、系统误差的发现与消减

系统误差是测量误差的重要组成部分，而且它的分析和消减也比较复杂。实验者应该在实验前、实验过程中和实验后对可能产生系统误差的环节进行分析，并通过校准测量仪器、改进实验装置方案、对测量结果进行修正等方法进行消除或尽可能减小。

1、系统误差的发现方法

（1）理论分析

分析实验条件是否满足运用的公式、使用的仪器所要求的条件，有无对条件的忽略和近似处理。

（2）实验对比

采用不同的测量原理、实验方法或实验仪器重复测量，通过改变某项实验条件、实验参数等对实验结果进行对比。若各种方法所得实验结果差异比较明显，说明实验中存在系统误差。

（3）数据分析

对实验数据进行分析，如果按测量顺序排列的绝对误差不是随机变化而表现出一定的规律性，如线性增大或减小、周期性变化等，则说明实验中存在系统误差。

2、系统误差的消减或修正

发现系统误差的目的是为了将其消除或减小对实验结果的影响，要对实验的各个环节进行全面分析，确定系统误差的来源并找到产生的原因，进行科学的处理。

（1）对公式进行修正。如用落球法测量液体粘滞系数的实验中，在公式中引入与液面面积和液体深度有关的修正项，对实验条件不理想引入的系统误差进行消减。

（2）改进测量方法，主要有：

交换法：根据系统误差产生原因，在一次测量之后，把某些测量条件交换一下再次测量。如，用天平称质量时，为了消除天平不等臂造成的系统误差，可以把被测物和砝码交换位置进行两次测量，设两次测量的质量分别为m1和m2，则物体的质量为

。

替代法：在测量条件不变的情况下，先测得未知量，然后用一已知标准量取代被测量，使指示值保持不变，于是被测量就与该标准量相等。如用单臂电桥测电阻时，为了消除桥臂电阻不准确引进的系统误差，先接入被测电阻，使电桥平衡，然后再用标准电阻取代被测电阻，使电桥再次平衡，此时标准电阻的阻值就是被测电阻的阻值。

对称法（倒号法）：改变测量中的电流方向、磁场方向、运动方向等条件，取多次测量的平均值作为测量结果。如霍尔效应实验中，为消除各种副效应引进的附加电压，对应磁场方向的正负和电场方向的正负的组合，分别取四种测量状态进行测量，最后取平均值。

还有其它根据实际情况采用的有效的消减系统误差的方法，如在金属杨氏模量的测量实验中，初始状态钢丝的弯曲会引入系统误差，这时可以用增加起始载荷的方法进行消减。

（3）通过数据处理进行消减。如通过实验曲线的内插、外推和补偿；将系统误差随机化处理，通过改变测量条件使系统误差的分布时正时负、时大时小，这样在计算平均值时就会抵偿部分系统误差。

在实验教学以及工程测量过程中，系统误差的消减是一项复杂而困难的工作，它涉及知识面广，需要具有一定的理论基础，并在长期实践中不断积累经验，不断探索新的方法和途径。

五、随机误差的分布规律与处理方法

1、随机误差的分布规律

对某一物理量进行的单次测量所得到的测量值，它随机误差是没有规律的，其大小和方向都是不可预见的。但当对同一物理量进行多次测量时，就会发现随机误差的分布服从某种统计规律。随机误差的分布规律有很多种，但无论哪一种分布，一般都有两个重要参数：平均值和标准偏差。理论和实践证明，当测量次数n很大时，测量值的随机误差一般都服从正态分布，所以本教材中主要介绍正态分布。

正态分布（normal distribution）是一种最典型的、经典误差理论中最常讨论的随机误差分布形式，也称高斯分布（Gauss distribution）。正态分布具有两个参数：总体分布的均值（mean of a population，统计学中称为数学期望，expectation）和总体方差（variance of a population）。在物理实验中，以

表示测量次数n→∞的均值（若不考虑系统误差，它就是真值），以σ2表示方差，则某一物理量的测量值的正态分布密度函数（density function）可表示为：

（1.2-1）

式中

，是测量值的总体平均值，即均值，其中n是测量次数。

正态分布概率密度函数曲线如图1.2-1所示，位于x轴上方，是中间高两边低的钟形曲线，图中横坐标x表示所测物理量的测量值，纵坐标p(x)是测量值的概率密度（probability density）。图中，概率密度最大值对应的横坐标

就是被测量的平均值；横坐标上任一点xi到

的距离

就是第i个测量值的随机误差，记为

；

和

为曲线拐点的横坐标；曲线与x轴之间的面积表示测量值或随机误差在某一范围内的概率，以

表示

按照概率理论，测量值出现在（

，

）范围内是必然的，既概率为百分之百，所以图中曲线与横轴所包围面积应恒等于1，即

多次测量值的随机误差服从正态分布，具有如下特点：

（1）单峰性：曲线只在

处有一个极大值，对应测量值的均值。x取

邻近的值的概率大，取远离

的值的概率小。对于误差来说，绝对值小的误差出现的概率大，绝对值大的误差出现的概率小。

（2）对称性：曲线关于均值

对称，均值的误差为零，在均值两侧，绝对值相等而正负反号的误差出现的概率相等。

（3）有界性：在一定的测量条件下，测量值误差的绝对值有一个上限，即绝对值很大的误差出现的概率趋于零。

（4）抵偿性：正负误差相互抵偿，随机误差的算术平均值随着测量次数n的增加而趋于零，即：

2、正态分布的标准偏差与置信概率

式（1.2-1）中，方差σ2的定义式为：

或

方差的平方根

（n→∞） （1.2-2）

称为正态分布的标准偏差（standard deviation），是表征测量值分散程度的重要参数，由定积分可以计算得出，测量值落入区间[

，

]的概率

这个结果的含义为：在一定条件下对某一物理量进行的任何一次测量，其值落入区间[

，

]的可能性为68.3%（如图1.2-1所示），或者说：测量值x在区间[

，

]内的概率为68.3%。区间[

，

]称为置信区间（confidence interval），该区间包含真值的概率P= 68.3%称为置信概率（confidence probability）。

若把置信区间扩大到2倍，则测量值x落在区间[

，

]内的置信概率为95.4%；若把置信区间扩大到3倍，则测量值x落在区间[

，

]内的置信概率为99.7%，即对某一物理量进行1000次测量，仅有3次测量结果落在[

，

]以外，因此把

称为极限误差。

3、单次测量值的标准偏差

式（1.2-2）给出了测量次数无限多时测量值的总体标准偏差，但在实验中测量次数总是有限的（物理实验中一般为5—12次），所以不能使用总体标准误差

，而是用实验标准偏差（experimental standard deviation）

作为

的最佳估计值来描述随机误差的分布，即贝赛尔公式：

（1.2-3）

表征的是在有限的n次测量中，测量结果的分散程度。它并不是严格意义的标准误差，只是标准误差的最佳估计值，置信区间[

，

]的置信概率也不等于68.3%，而是小于并接近68.3%。

4、算术平均值的标准偏差

对同一待测量进行一组n次等精度测量，获得n个测量值，我们把这一组n个测量值构成的集合称为一个测量列或样本。可以证明，样本的算术平均值

（1.2-4）

作为被测量的最佳估计值，如果对该被测量进行若干组上述的重复测量，就获得了若干个算术平均值

，

，…，而这些

仍是随机变量，服从正态分布，也有一定的分散性，所以也要用平均值的标准偏差

来表征这一分散性：

（1.2-5）

可以看出，算术平均值的的偏差

要比单次测量的标准偏差

小得多，这是因为算术平均值已经对单次测量的随机误差有一定的抵消，因而平均值会更接近真值。

1.3 测量的不确定度

1.3.1 不确定度的表示与分类

测量结果的误差是客观存在的，但用误差来评定结果的优劣是不科学的。因为，根据误差公式

Δx=x-X

式中X是被测量的真值，客观存在但不可能准确知道，于是误差Δx也就不可能准确算出，是不确定的，所以不应该再将任何一个确定的已知数值称作误差。为了对测量结果的准确程度给出一个量化的表述，人们引入了“不确定度（uncertainty）”这一概念。

不确定度的引入，可以对测量结果的可靠程度作出比较科学合理的评价。不确定度越小，表示测量结果越靠近真值；反之，不确定度越大，说明测量结果越远离真值。

用不确定度来评定测量结果的准确程度已经有几十年的历史，经历了系统化、完善化和不断推广的过程，国际和国内相继制定了相应的法规性文件以期规范和统一不确定度使用，使各行各业有通用的统一的准则，便于对测量和实验结果的相互交流与利用。1980年，国际计量局（BIPM）起草了一份《实验不确定度的说明》的建议书INC-1（1980），国际计量委员会（CIPM）在1981年原则上通过了这一建议书。1993年，国际标准化组织（ISO）等7个国际组织联名发表《测量不确定度表达指南》等文件。1999年，我国计量科学研究院经国家质量技术监督局批准，发布了《JJF1059—1999测量不确定度评定与表示》的中国国家计量技术规范，明确提出了测量结果的最终形式要用不确定度来进行评定与表示，从此不确定度的使用在我国进入了推广阶段。

目前，不确定度在实验结果评定中的应用已经很普遍，尤其在物理实验中，各高校都有不同程度的应用。但由于各种法规性文件不是只针对物理实验制定的，在适用于物理实验时还要进行具体的细化，而目前使用的教材和参考资料中关于不确定度的评定和测量结果的评定说法也不尽统一，所以本教材只介绍当前得到公认的、对物理实验比较适用的、操作性较强的不确定度评定与表示方法，其中进行了一定程度的简化。

在《JJF1059—1999测量不确定度评定与表示》中将不确定度定义为“表征合理地赋予被测量之值的分散性、与测量结果相联系的参数”。具体地说，测量不确定度是测量结果必须具有的、表征测量结果分散程度的一个参数，它表示由于测量误差的存在而使测量值偏离真值的不确定程度。不确定度给出了一个取值范围，而被测量的真值将以一定的概率（如P=68.3%）被包含在这一范围内。

不确定度的表示方法有多种，为了与误差符号进行区别，本教材中采用不确定度的英文（uncertainty）开头字母u来表示。例如对某一物理量x，它的不确定度表示为u(x)。

参照相对误差的定义，将相对不确定度定义为：

（1.3-1）

测量不确定度的来源较复杂，一般包含多个分量。按照数值评定的方法，可分为两类：

A类不确定度：采用统计分析方法评定的不确定度分量，用uA（x）表示。

B类不确定度：采用其它（非统计分析）方法评定的不确定度分量，用uB（x）表示。

1.3.2直接测量不确定度的评定

一、多次直接测量的不确定度评定

1、A类不确定度uA(x)

对于多次重复测量，用平均值

表示测量结果，则用平均值的实验标准偏差来表征测量的A类不确定度，即

（1.3-2）

在实际测量中，有时不能保证测量次数的足够多，如平均值标准偏差满足的条件5—12次，这样

对结果的评定就会有一定的偏离，置信区间[

，

]的置信概率不再是P。于是要进行必要的修正。根据误差理论，统计量

服从t分布，该分布提供一个系数tP，称为t因子，用t因子乘以平均值的标准偏差

，得到一个新的置信区间

，这样保证置信区间[

，

]的置信概率仍为P，则多次测量的A类不确定度的表示为：

（1.3-3）

表1.3-1列出了不同置信概率和测量次数对应的t因子的值。

表1.3-1t因子表

n

3

4

5

6

7

8

9

10

11

t0.683

1.32

1.20

1.14

1.11

1.09

1.08

1.07

1.06

1.05

t0.954

4.30

3.18

2.78

2.57

2.45

2.36

2.31

2.26

2.23

t0.997

9.92

5.84

4.60

4.03

3.71

3.50

3.36

3.25

3.17

从表1.3-1可以看出，当测量次数为5次以上时，对应置信概率为68.3%的t因子

t0.683≈1

所以，在物理实验测量中，如果无特殊说明或测量次数不是很少，一般认为t0.683=1，因此在不确定的评定中不出现t因子这一项，即常用的是公式（1.3-2）。

2、B类不确定度uB（x）

（1）与B类不确定度有关的仪器指标

测量范围：使测量仪器误差处理规定极限内的一组被测量值称为测量范围（mesuring range）。测量范围不一定等于仪器的示值范围（range of indications），二者相等的如游标卡尺、千分尺等；有些仪器的测量范围只占示值范围的一部分，如对于一般的非自动秤，国家标准规定了“最小称量Min”，这是为了避免使用秤衡量小质量时可能产生较大的相对误差。

允许误差限：由于仪器自身的原理、结构、工艺上的不完善和测量环境的影响，测量过程中因仪器而产生的误差客观存在。每次测量的仪器误差不可能确切获知，但在一定条件下所做的多次等精度测量，其仪器误差不会超过一定的限值，即误差的有界性。仪器的允许误差限（limits of permissible error）是指在规定（计量检定）条件下，仪器所具有的允许误差范围，用Δ仪表示。仪器误差限是物理实验教学中的一种简化的表示，一般取仪表、量具的示值误差或允许误差，可以参照国家标准规定的计量仪表、器具的准确度等级或允许误差范围得出，或者由生产厂家标定，有的由实验者（指导教师）根据实验的具体情况进行约定。表1.3-2给出了物理实验中一些常用仪器的允许误差限和示值误差限。

表1.3-2 常用仪器的允许误差限和示值误差限Δ仪

仪器名称

误差限

备 注（参数或等级）

游标卡尺

0.1mm

分度值0.1mm

0.05mm

分度值0.05mm

0.02mm

分度值0.02mm

螺旋测微器

0.004mm

一级，0~25mm

秒表（机械/电子）

0.2s

水银温度计

最小分度值

指针式电流表/电压表

Am·a%

Am：量程；a：准确度等级

数字电表

a%Nx+b%Nm

或：a%Nx+n字

a：准确度等级；Nx：显示的读数；b：仪器误差固定项系数（常数）；Nm：仪表的满程；n：仪器固定误差，即最小读数单位的倍数。

灵敏阈：仪器的灵敏阈（discrimination threshold，也称鉴别力阈）是指足以引起仪器示值可察觉变化的被测量最小变化值。被测量的改变量如果小于这个阈值，将不会引进仪器读数的改变。对于指针式仪表，一般认为人能感觉到的最小改变量是分度值的五分之一，于是把五分之一分度值所代表的量作为指针式仪表的灵敏阈；对于数字式仪表，一般把显示屏上最末一位数所代表的量作为它的灵敏阈。一般来说，仪器的灵敏阈小于示值误差限，而示值误差限小于或等于仪器的最小分度值。但也有个别情况，如在固体线膨胀系数测量的实验中，用钢卷尺测量标尺到光杠杆镜面的距离时，由于尺的弯曲等因素的影响，实际的测量误差要远大于仪器的最小分度值（1毫米），所以仪器误差限的取值要视具体情况而定。

（2）B类不确定度的评定

引起B类不确定度的原因很多，结合实际情况，在物理实验教学中只考虑仪器误差这一因素。定义测量的B类不确定度为

（1.3-4）

式中

为仪器误差限。C称为置信系数，与置信概率和仪器误差的分布特性有关。当置信概率P= 68.3%时，对应的仪器误差服从正态分布、均匀分布和三角分布，C分别取3、

和

。在掌握的仪器信息不充分的情况下，对于大多数物理实验中的测量，可以认为仪器误差概率分布服从均匀分布，即取C=

。于是，若无特殊说明，对于多次直接测量的B类不确定度，我们一般取

（1.3-5）

二、单次直接测量的不确定度评定

物理实验中，一般取多次测量的平均值作为约定真值，但当多次测量的偏差与仪器的误差限相比很小时，就不必进行多次测量，而以单次值作为测量结果。对于单次测量，不能用统计方法求A类不确定度，而只有B类不确定度，但B类不确定度取仪器的误差限

，也就是说，对于单次测量，

（1.3-6）

三、直接测量标准不确定度的合成与结果表示

通过上述方法得到的A类和B类不确定度分量，采用“方-和-根”的方式合成，由于其中A类分量是用标准偏差表示的，所以称为合成标准不确定度，简称标准不确定度（standard uncertainty）：

（1.3-7）

标准不确定度的置信概率为68.3%，在某些情况下可能需要用高置信概率的扩展不确定度（expanded uncertainty）表达测量结果，扩展不确定度在有些资料中也称展伸不确定度，用标准不确定度U乘以包含因子K表示，即：U=Ku，式中K取值在2-3之间，当取2和3时对应的置信概率约为95%和99%。

若无特殊说明，本教材中提到的不确定度均指标准不确定度，一般不涉及扩展不确定度。

一般地，一个直接测量结果的完整表达方式如下：

[测量结果=平均值±（合成标准）不确定度] [单位] [置信概率（P=68.3%）]

[单位]（P=68.3%） （1.3-8）

上述表述方法也适用于最终实验结果的表达。

1.3.3间接测量不确定度的评定

大学物理实验课程中很多实验结果不是直接测得的，而要将直接测量量经过必要的函数运算过程才能得到，这样的结果称为间接测量结果。由于直接测量误差和不确定度的存在，则伴随着运算过程的进行，间接测量结果也必然存在误差和不确定度，这一过程称为误差或不确定度的传递。

设间接测量量F是n个独立的直接测量量x，y，z…的函数，函数关系为：

其中x，y，z…的不确定度分别为

，

，

…，与测量值相比，不确定度是微小量，类似于数学中的“增量”，所以间接测量结果的不确定度评定方法可参照数学中的全微分公式，并且用不确定度

，

，

…代替dx，dy，dz，…。于是经过推导和简化可得到间接测量量F的不确定度

（1.3-9）

其中直接测量量的不确定度

，

，

…由各自的A类和B类不确定度按“方-和-根”（式1.3-7）合成得到。间接测量量F对各直接测量量的偏导数

，

，

，…称为不确定度的传递系数。

当

为简单的加、减法时，可以用式（1.3-9）估算出其间接不确定度。但当

为乘除或方幂的函数时，采用相对不确定度可以大大简化运算过程，具体方法是先取对数再做方差和合成，公式为：

（1.3-10）

由其（绝对）不确定度为

利用式（1.3-9）或（1.3-10），可以算得常用函数形式的不确定度传递和合成关系，见表1.3-3。

表1.3-3 常用函数的不确定度传递和合成公式

函数表达式

不确定度的传递合成公式

或

（k为常数）

，

1.3.4不确定度的评定步骤和测量结果的最终表述

一、不确定度评定步骤

1、察看并记录仪器型号、量程、最小分度值、示值误差和灵敏阈，确定仪器误差限并进而根据测量次数（单次还是多次）确定直接测量量的B类不确定度，参照式（1.3-5）或（1.3-6）。

2、对于多次测量，按式（1.3-2）评定直接测量量的A类不确定度。

3、对于多次测量，按式（1.3-7）合成直接测量量的标准不确定度；单次测量标准不确定度直接用

。

4、按式（1.3-9）或（1.3-10）逐级评定间接测量量的不确定度，直至最终实验结果。

5、按式（1.3-8）格式表示实验结果。

6、按式（1.3-1）评定并表示相对不确定度。

注意：测量数据和不确定度有效数字的保留位数及舍入准则请参照下一节内容。

二、实验结果的最终表述

实验数据处理应根据每个实验的具体要求进行，有的用误差有的用不确定度来评价实验结果，当评定不确定度时，应注意以下几点：

1、最终结果的不确定度可用一位或二位有效数字表示，为了方便统一，本教材中一律取一位。最终结果的相对不确定度一律用二位有效数字的百分数表示。

2、为了避免造成截尾误差的积累，作为间接测量量的中间结果的不确定度位数可以取二位。

3、不确定度尾数截断时一律采用“只进不舍”的原则，以保证其置信概率水平。如，计算得到不确定度为0.314，截取一位为0.4。

4、测量结果的最末位应与不确定度的末位对齐，测量结果的尾数截断采用“四舍六入五凑偶”的原则。

5、在测量结果后用括号注明置信概率的近似值（标准不确定度为默认值P=68.3%，可以省略）。

注意：关于有效数字和数据截尾的知识请参照第二章相关内容。

第二章 实验数据处理的规则与方法

2.1有效数字及其修约规则

2.1.1有效数字

一、有效数字的基本概念

任何仪器或量具都有最小分度值，但一般读数时只读到最小分度值是不够的，还应尽量估读出最小分度值的下一位数。这样，测量的原始数据就包括两部分：一部分是由仪器刻度准确读出来的数字，即最小分度值以前的数字，称为可靠数字；数据中末位是估读得到的，一般也是仪器误差或相应的仪器不确定度所在一位数字，它的值会因测量者或测量次数的不同而不同，我们把这一位数字称为可疑数字。

由测量值计算得出的间接或最终实验结果，也由可靠数字和可疑数字组成。本教材约定：直接测量和最终实验结果一律只保留一位可疑数字，为了避免数字截断后在中间运算过程中舍入误差的累积，中间计算结果要保留2位可疑数字，但只有第一位计入有效数字的位数。

我们把由通过上述方法得到的能够正确而有效地表示测量值和实验结果的数字称为有效数字（significant figure），它包括测量结果中所有可靠数字和末尾的一位可疑数字。有效数字位数计算应该从数据的左边第一个不为零的数字算起直至第一位可疑数字止（因为中间结果要保留两位可疑数字）。

二、数值的科学计数法表示

当测量结果使用不同的单位表示时，有效数字的前面或后面会多出若干个“0”。如，用天平称某物体的质量为8.32克，有3位有效数字；若改用kg为单位，结果应表示为0.00832kg，前面加的“0”不计，有效数字仍为3位，没有变化；若改用mg为单位，结果表示为8320mg，就会出现错误：原来的有效数字后面多一个“0”，由3位增加为4位，可靠数字也就由原来的2位增加为3位。

同一次测量，不应该因为单位的不同而出现不同的有效数字位数。这些错误的原因是我们的表达方式不合理，原数值后面不得任意扩展位数。为了解决这一问题，通常采用科学计数法，即用有效数字乘以10的幂指数的形式来表示，形如a×10n，a的取值范围一般为1≤a＜10，n是不为零的整数。

如上面的8.32g可表示为8.32×103mg或8.32×10-3kg，单位变换但有效数字不变。

科学计数法在表示特别大的或特别小的数字时非常方便。如真空中的光速的公认值为299792458 m·s-1，若保留三位有效数字，应为2.998×108m·s-1。He-Ne激光器的波长为632.8nm，若以米为单位，则应表示为6.328×10-7m。

三、有效数字的特点

1、有效数字的位数与仪器的精度（最小分度值）有关

测量同一物理量，使用仪器的精度越高，最小分度值越小，估读的位数就越靠后，得的有效数字位数就越多。使用不同的量具测量某一物体的长度，得到的测量结果见表2.1-1：

表2.1-1 用不同量具测量某物体长度的数据记录

量具

最小分度值/mm

仪器误差

/mm

测量结果/mm

数字位数

可靠

可疑

有效

米尺

1mm

1

10.2

2

1

3

游标卡尺

0.02mm

0.02

10.22

3

1

4

螺旋测微器

0.01mm

0.004

10.217

4

1

5

注：游标卡尺的读数没有估读。本教材约定，在可疑数字下边加下划线以区别于可靠数字。

2、有效数字的位数与被测量的大小有关

使用的仪器一旦确定，测量结果有效数字的尾数位置就相应确定，但其首位位置会随被测量的大小而改变，有效数字的位数也相应地增加或减少：被测量越大，有效数字的位数越多。

3、有效数字的位数与小数点的位置无关

根据有效数字的理论，当变换单位时，数据的小数点向左移动，即在数据左端加“0”不影响有效数字的位数；而小数点向右移动时应该到有效数字的最末一位为止，不可以在右端加“0”，否则会改变有效数字的位数。所以，当数据的左端出现太多的“0”或者右端出现“0”时，必须采用科学计数法计数。

4、有效数字与不确定度的关系

根据有效数字的定义，有效数字的末位是可疑数字，存在不确定性。而我们同时也规定不确定度的有益数字只取一位，那么测量结果和实验结果的有效数字最后一位都应与不确定度所在位对齐。从表1-3-5中可以看出这一规律。

根据有益数字的末位与不确定度的上述关系，一组按有效数字和不确定度相关规则规范表述的实验数据，既能表达实验值的大小，又在一定程度上反映出它的不确度以及误差限值。

2.1.2有效数字的修约规则

1、数值的截尾舍入规则

直接测量量的有效数字位数，我们可以根据仪器或量具的最小分度值或误差限来确定。间接实验结果的有效数字位数，要根据其不确定度来确定，对于有效数字后面的多余数字要进行截断。数据截断时要对后面数值进行舍入，这一舍入过程势必影响到计算结果的大小，因此要遵循统一的舍入规则，以减小数值计算产生的偏差。

日常生活中应用较多的是“四舍五入”规则，但这一规则会因1~9中进的数多于舍的数而造成计算结果的偏大。本教材中执行当前在工程技术和实验教学中应用较广的一种规则，即“四舍六入五凑偶”，具体如下：

（1）尾数小于或等于4时，直接舍弃；

（2）尾数大于或等于6时，直接进1；

（3）尾数等于5时，把前一位（即保留数字的末位）凑成偶数：当末位为偶数时，将5舍去；当末位为奇数时，进1将末位凑成偶数。

按上述规则，将下列数值保留三位有效数字：

3.14159→3.14

1.22678→1.23

1.22567→1.22

1.23567→1.24

1.24567→1.24

1.20567→1.20

从统计学的角度看，“四舍六入五凑偶”比“四舍五入”更科学，它使5舍入后前一位有的增大，有的减小，而增减的概率均等。例如：

2.35+2.45+2.55+2.65=10.00

若按“四舍五入”计算：

2.4+2.5+2.6+2.7=10.2

结果比无舍入的结果偏大0.2；

若按“四舍六入五凑偶”计算：

2.4+2.4+2.6+2.6=10.0

舍入后的结果更能反映实际结果。

2、有效数字的一般运算规则

有效数字的运算过程中，除了遵循数学运算法则外，还必须遵循其自身的约定规则：可靠数字与可靠数字的运算结果仍为可靠数字；可疑数字与任何数字的运算结果都为可疑数字；运算最终结果只保留一位可疑数字。上述只是一般规则，实际运算过程中还有不确定度对有效数字的限制和中间结果保留位数的需要等因素，请参照后面的相关内容。

（1）加减法——尾数对齐

几个有效数字相加、减时，审查小数点后数字的位数，以最少的为准，运算结果小数点后所保留的位数应与参与运算的各数中小数点后位数最少的相同，即与尾数最短的对齐，故称尾数对齐。

例1计算1.25+14.452+0.1244

1.25

14.452

+

0.1244

15.8264

→结果：15.83

参与运算各数值中小数点后位数最少的是1.25，只有2位，所以应以此位数为准，运算结果中小数点后只保留2位且第二位是可疑数字，其后的数字根据舍入规则截断。

（2）乘除法——位数对齐

多个数值相乘的结果应以有效数字位数最少的为准，即位数对齐，与小数点的位置无关。

例2计算12.42×0.046

12.42

×

0.046

7452

4968

0.57132

→结果：0.57

参与运算各数值中有效数字位数最少的是0.046，只有2位，所以应以此位数为准，运算结果中有效数字只保留2位且第二位是可疑数字，其后的数字根据舍入规则舍去。在竖式的运算过程中，“可靠数字与可靠数字的运算结果仍为可靠数字，可疑数字与任何数字的运算结果都为可疑数字”的规则也得到了的验证和体现。

（1）乘方、立方、开方

乘方、立方、开方运算结果的有效数字应与原数值的有效数字相同。

（2）指数、对数、三角函数

这些运算的有效数字位数，一般可由改变量来确定。

例3计算

计算得：

将原数末位改变一个数再计算：

两个计算结果在小数点后第四位产生了差别，即可疑数字出现在小数点后第四位，所以有效数字应该保留到这一位，即取

上述方法只是一般方法，但会有一位的出入，所以准确的方法应以不确定度来确定其位数。

（3）常数

对于π，e，

等常数，它们自身的有效数字位数是无限的，运算时一般根据需要比其它参与运算的数值中位数最少的多取一位有效数字。

3、不确定度对有效数字位数的限制

每一个实验数据的有效数字都要与它的不确定度相对应，即末位与不确定度对齐。因此，当不确定度所在位高于按上述规则算得的结果时，应根据不确定度对原结果进行进一步的截断和舍入。除中间结果需多保留一位外，运算结果末位要与不确定度所在位对齐。

4、中间运算结果的特殊处理

一般规则以最终结果的运算，即保留一位可疑数字为主，但运算过程中为了避免误差累积，运算的中间结果可视具体情况暂时多保留一位可疑数字，运算仍遵循上述一般规则，到最终结果时将多余的一位数字截去。

2.2实验数据处理的基本方法

数据处理是物理实验基本任务之一，是物理实验重要的组成部分。数据处理主要包括数据记录、整理、运算，误差分析，不确定度评定，实验结果的完整表达。实验数据处理的方法很多，我们只介绍几种常用的方法。

2.2.1列表法

物理实验中一般要对多个物理量进行多次测量，数据量较大，但是数据分类比较清晰，很多情况下是对每个物理量记录多次测量值然后求平均值，或者一个量随另一量变化的一一对应关系，这些数据用二维的表格记录和处理比较方便。列表法是物理实验中最常用的也是最基本的一种方法，它的优点在于能够使大量的数据表达清晰醒目，有条理，便于分析和发现数据的规律性，易于核查和发现问题，避免差错。

根据实验的具体情况科学、合理地设计表格是每个实验者必须掌握的一项基本技能。所列表格没有固定的格式要求，但应充分发挥列表法的上述优点。

一套完整的实验数据表格从上至下应该包括以下几部分：

1、表格标题

格标题包括表格编号和名称，每一个实验的表格编号要统一有序，名称要完整、清晰，与实验内容一致。

2、实验条件

测量时有些物理量是常量或在此表格涉及的实验过程中是设定不变的，如大气压、湿度、温度、物理量初值以及仪器的误差限等，还有单次测量的数据，无法或没必要列入表格，所以这些量要加括号记录在表格的顶端标题的下面，写明数值和单位。

3、表格主体

表格的设计是核心内容，要根据实验数据的多少和数据关系，充分利用报告纸的版面，合理地设置行和列，便于体现相关量之间的对应关系。

（1）除特别多的数据外，同一物理量尽量用同一行（或列）记录。

（2）首行或首列的标题栏要写明各物理量的名称、符号、量值和单位，一般在文中有明确说明的指代关系可直接写符号而不用写物理量名称。数值较大或较小时要用科学计数法记录，但一般数量级比较接近，所以这种情况下要把数量级也写在标题栏的单位之前，属单位的一部分。数量级和单位不要重复出现在数值栏内。

（3）单元格的记录顺序要体现数据间的联系和计算顺序，力求简明、齐全、有条理。对于有函数关系的数据，要根据自变量的由小到大或由大到小顺序排列，以便判断和处理。

（4）表中的原始测量数据应能正确反映有效数字，不得用铅笔，不得随意涂改。因笔误确实要做修改时，不能乱涂，要在原数据上画一横线并保证能看清原数据，以便随时查验，然后在旁边书写正确数据。例如：原数据：12.38；错误：小数点错位；改正：12.38 1.238。

（5）表格中除了原始测量数据外，还应设计出填写有关计算结果的栏目，包括平均值、间接测量结果、误差或不确定度等。

4、备注或说明

关于该表格需要说明的文字内容以备注或说明的方式简练地写在表格的下面。

5、单独表格页的必要信息

在实验报告以外单独用纸附加的表格还要在页面顶端写明实验信息（项目编号、实验名称）和实验者信息（姓名、班级、学号等）以及做实验时间、地点等。

2.2.2作图法

作图法就是在坐标纸上通过描点、连线等方式，将实验数据之间的关系与趋势直观地表示出来，作图法也是常用的数据处理方法之一。

1、作图法的优点

（1）作图法能简明、直观、形象地显示出各物理量之间的关系和变化趋势从而求取公式。另外，从图线上还能够看出变量的极值、转折点、周期性等特点。

（2）能够表达一些用简单函数无法表达的数据关系和实验现象，如一天内的气温变化，晶体二极管的特性曲线等。

（3）实验测量点之间有一定的间隔，具有不连续性，其它未测到的数据可以在图线上测量点之间直接、连续地读出，即“内插法”。通过对曲线（尤其是直线）按既定的趋势进行延展，还可以读到测量范围以外无法测量的数据，即“外推法”。

（4）通过图线的某些参数（如直线的斜率、截距、圆周的半径等）可以求得关键的物理量（如光电效应实验中用斜率求普朗克常数）。

（5）参照具有明显规律的图线可以帮助实验者发现实验中个别测量值的错误，并可以通过图线进行系统误差的分析。

2、作图步骤和规则

（1）选择合适的坐标纸种类和规格

作图必须用坐标纸，根据不同需要可以选用毫米方格纸、半对数坐标纸、对数坐标纸或极坐标纸等，其中用的最多的是毫米方格纸，本教材中主要介绍在直角坐标系内作图用，所以坐标纸以毫米方格纸为主。坐标纸的规格（尺寸与分格）要根据数据的取值范围和有效数字位数来确定，原则上图上的大小分格应和测量仪器的分度值相当，使坐标纸上的最小格与数据中有效数字的的最低位相对应，即可靠数字在图上读出时也是可靠的。所画图线应占到图纸的大部分，不能偏于一角或一边。

（2）确定坐标轴

一般以横坐标（x轴）表示因变量，以纵坐标（y轴）表示随变量，根据数值的范围即坐标轴的长短确定坐标纸的使用方向。坐标原点不一定取零点，要根据最小一组数值和数据处理的要求（如是否需要外推或者画出截距）来确定。根据原点和方向，在坐标纸上画出坐标轴，并用箭头标出方向。在箭头下面或旁边标出坐标轴所代表物理量的名称、符号、和单位，指代关系明确的物理量名称可以省略，符号和单位之间用斜线“/” 隔开（同表格中要求）。

（3）确定坐标分度

根据（1）和（2）中的选择，每隔一定距离用整齐的数字均匀地标注格线对应的数值，即坐标分度。坐标分度的标注应使每个实验点的坐标值都能迅速、正确、方便地找到。当不能使最小分格与最末一位可靠数字对应时，一般以便于计算为原则确定分格与数值的关系，如用1个大格（10mm）代表1、2、5、10个单位，或用1、2、5、10个小格代表1个单位，而不用3，6，7，9等数字。分度的数值太大或太小可用科学计数法，将数量级写在单位中。如：I/×10-10A

（4）描点

根据实验数据，在坐标系内准确、清晰地标出各对应的数据点。为了便于识别，数据点一般不用“·”标注，而用“×”。当在一个坐标系中要画多个数据系列的几条曲线，则可分别选用“＋”、“⊙”、“△”或“▲”等来标注数据点，数据点的大小要与物理量的不确定度相当。

（5）连线

根据实验数据点的分布趋势用直尺或曲线板作光滑、连续的直线、曲线或折线（校准曲线）。由于测量不确定度的存在，图线不一定通过所有的点，但应使所有数据点均匀地分布于图线两侧，与图线距离尽可能小。个别偏离图线较远的点，若不存在标点、记数的错误，可能是存在粗大误差而连线时不予考虑。

（6）标题和说明

在每幅图的坐标系下边或上部空白处要标明图线的编号、名称和简单的说明（如实验条件、数据来源、图注等）。每个实验可能要做一个或几个图，可能用到一张或几张坐标纸，每张坐标纸上都要在明显位置上标明实验项目编号、实验名称、实验者、做实验时间等。

3、应用图线求解实验参数（图解法）

根据已作好的实验图线，运用解析几何的知识求解图线的各种参数，得到曲线方程（即经验公式）的方法，称为图解法。图解法在图线为直线的情况应用较多，一般用来求直线的斜率或截距，具体步骤如下：

（1）选取解析点

在直线的两端任取两点，即解析点，坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2）。为便于在表上读数和计算，因变量和随变量中最好有一个量是整数，同时为了减小误差，两点应在实验数据范围内彼此尽量远离，且不能取原始数据点。用与实验数据点不同的标记清晰地标出解析点，在旁边根据有效数字规则注明坐标值。

（2）计算斜率和截距

将解析点的坐标代入直线方程

，解得

斜率

（2.2-1）

截距

（2.2-2）

如果横坐标的起点为零点，则截距可以直接在图中读出。另外，在上述计算中要注意各数值的数量级和单位不要遗漏。

4、曲线的改直

直线作图容易，而且可以很方便地求得斜率和截距，所以在数据处理中便于应用。但在实际测量中这种线性关系并不多，必须经过适当的数学变换才能作出直线图，即把曲线改成直线，这种方法称为曲线改直。曲线改直给数据处理带来很大方便，在很多实验中会用到，常用的数学变换见表2.2-1：

表2.2-1 常用的曲线改直变换方法 （表中C、a和b）均为常数

原非线性关系式

转换方程（或方法）

转换后线性关系式

线性关系量

斜率

截距

C

0

0

两边取对数

b

两边取自然对数

b

两边取对数

a

b

2.2.3逐差法

所谓逐差法，就是把实验测量数据分成高、低两组实行对应相减的，然后求解解参数的方法。逐差法适用于自变量x等间距变化，具有

的线性关系或可写成自变量x的多项式形式的数据组。

设数据组（xi，yi）满足上述适用条件，把数据分成如下两组：

相隔n项进行等间距逐对求差：

…

…

利用

的关系求斜率值：

…

…

取平均值：

（2.2-3）

由于自变量xi等间距变化，所以

式中

为自变量的变化间距，n为逐差间隔数，即为测量次数的

，于是有

（2.2-4）

逐差法相当于利用等间距的数据点连了n条直线并分别求出其斜率，直线的斜率的最终结果是这n个斜率的平均值，采集到的数据得到了充分的利用，所以这种方法比作图法更加精确合理，降低了作图法的随意性，而且计算量不是很大。

逐差法的应用实例见“实验5.3 静态拉伸法测金属杨氏模量”。

2.2.4最小二乘法

对于存在线性关系的数据，用作图法处理数据虽然能够直观简便地求出斜率、截距进而示得实验方程，但由于在作图过程存在一定的主观随意性，往往会引入附加误差，使实验结果明显地因人而异。相比之下，如果运用数学解析的方法，从一组数据计算出直线的斜率和截距，这样得到的实验方程会更为精确。这个过程称为方程的回归，本教材主要介绍物理实验中最常用的一种回归方法——最小二乘法。

一、最小二乘法的原理

最小二乘法的基本原理是：在所有拟合直线中，各测量点与最佳拟合直线上对应点距离的平方和和最小。实际上就是各测量点到直线上对应点距离的绝对值之和最小。

设两物理量之间存在线性关系，回归方程形式为

（2.2-5）

实验测得一组数据xi，yi（i=1，2，…n），要求根据所测数据确定上式中的斜率k和截距b。

最小二乘法的应用有很多种情况，这只考虑最简单的一种，即所有测量都是等精度的，而且xi的测量误差远小于yi的误差，可以忽略，只考虑yi的测量误差

。数据处理过程中可根据误差的大小对xi与yi进行必要的选择或互换。

图 2.2-1

图2.2-1是从某图线中任取的一部分，点（xi，yi）是取的一测量点，由图可知，点（xi，yi）与直线上对应点（xi，y）在y方向的距离为

则距离的平方和

根据最小二乘法原理及相关数学知识，使

为最小的条件是：

，

，

，

，

根据前两式可得

解得

（2.2-6）

引入各量的平均值公式：

代入式（2.2-6）中，得

（2.2-7）

式（2.2-7）同样满足二阶微商大于零的条件，证明从略。因此，利用式（2.2-7）求得的k和b，就是拟合直线

的斜率和截距的最佳估计值，从而确定了直线的回归方程。

二、相关系数和相关检验

上述最小二乘法是在被测量之间的函数关系已知的前提下来确定相应的系数。然而实际测量中，被测量之间的关系往往是未知的，只能根据数据进行分析，是否符合所求得的回归方程要经过必要的检验和判断。对于用最小二乘法求得的直线方程，我们用相关系数r进行检验，即相关检验。一元线性回归的相关系数r定义为

（2.2-8）

可以证明，

，从r的取值可以判断物理量线性关系的显著程度（如图2.2-2）

（1）

表示y随x增加而增加，

表示y随x增加而减小；

（2）|r|越接近1，各数据点越接近拟合直线，说明用此方法进行线性回归越合适；

（3）若

，表示变量x，y完全线性相关，拟合直线通过所有实验数据点；

（4）|r|越小，y与x的线性关系越差，各数据点越分散，离拟合直线越远，说明线性回归越不合适；

（5）|r|远小于1而接近于零，说明两个变量的线性关系很差，不适合用直线方程拟合，应采用其它函数或方法进行拟合。

（6）线性相关有一个起码值

，当

时，可认为两个物理量之间线性关系显著，适合作直线拟合。物理实验中一般取

。

图2.2-2 相关系数与线性关系

用最小二乘法处理作线性拟合，计算量比较大，一般用计算机或具备二维统计功能的计算器来处理数据。

2.2.5实验数据处理实例

下面以具体实验为例对实验数据进行处理，因实验仪器、测量条件的不同，计算方法及所得数据可能不同，而且这里只取实验数据处理的一部分，表格样式与实验中也不一样，所以本部分内容仅供参考，实际方法与参考结果以实验室给定或指导教师要求为准。

例1 分别用列表法、作图法、最小二乘法处理固体线膨胀系数的测定实验数据。

解：1、列表法处理数据

原始数据的记录和表格中计算结果的填写都属于列表法处理。

见表2.2-2，表格上方的内容和表内第3-4行（ni和ni’）为原始数据记录内容，应在实验操作过程中认真记录，注意读数的有效数字位数。实验结束后请教师检查并签字。

根据原始数据进行计算，填写表格所有内容。注意单位、科学计数法、有效数字的舍入。

2、求标准偏差及表述实验结果：

根据表格中数据可得：

的标准偏差

=0.02×10-5℃-1

测量结果表达式

=（1.64±0.02）×10-5℃-1

3、作图法处理实验数据

①手动描点作图（参照§2.2.2内容，步骤略）。见图2.2-3，在图上取两点P1（33, 1.10）和P2（64,2.00），计算得

②目前许多实验室或学生个人都备有计算机，可以用办公软件Microsoft Excel进行作图处理数据。基本步骤是先将数据按行列输入到Excel表格中，然后插入图表并选择合适的图表类型，设置合适的图表参数，从而得到实验曲线。关于软件的具体操作步骤请读者查阅相关书籍或资料自学。应用计算机作图可以减少手动作图时人为主观因素的影响，还可以自动进行有关计算。本例用Excel得到的直线公式为

则

，计算得

图2.2-3 作图法求固体线膨胀系数

4、用最小二乘法计算结果

根据表中中间结果，利用公式（2.2-7）计算结果：

直线斜率：

膨胀系数：

相关系数：

=0.9998=1.00

说明x和y完全线性相关，直线拟合合理。

表2.2-2 固体线膨胀系数的测定数据记录及处理

= 50.00cm，

= 28℃，

= 7.82cm，D=160.0cm，b= 8.20 cm

序号i

1

2

3

4

5

6

7

8

平均值

说明（本列不属数据表格内容）

温度ti /℃

60.0

65.0

70.0

75.0

80.0

85.0

90.0

95.0

——

原始数据，分度值后估读1位。因本实验结果与长度单位的选择无关，所以不必将便于读数的cm单位换算成m。其它实验注意与国际标准单位之间的换算。

升温读数ni/cm

6.68

6.52

6.40

6.25

6.10

5.96

5.82

5.69

——

降温读数ni’/cm

6.81

6.70

6.52

6.40

6.25

6.10

5.92

5.80

——

/cm

6.745

6.610

6.460

6.325

6.175

6.030

5.870

5.745

——

中间结果有效数字多保留一位，下同。

/℃

32.0

37.0

42.0

47.0

52.0

57.0

62.0

67.0

49.5

平均值用于最小二乘法计算。

/℃

1024

1369

1764

2209

2704

3249

3844

4489

2581.5

用于最小二乘法计算。

/cm

1.075

1.210

1.360

1.495

1.645

1.790

1.950

2.075

1.575

平均值用于最小二乘法计算。

/cm·℃

34.40

44.77

57.12

70.27

85.54

102.03

120.90

139.03

81.76

用于最小二乘法计算。

1.156

1.464

1.850

2.235

2.706

3.204

3.803

4.306

2.590

用于最小二乘法计算相关系数。

/×

℃-1

1.722

1.676

1.660

1.630

1.621

1.609

1.612

1.587

1.640

中间结果有效数字多保留一位，结果表达时截掉。

/×

℃-1

0.082

0.036

0.020

-0.010

-0.019

-0.031

-0.028

0.053

——

只用于估算标准偏差，用计算器或计算机直接计算时，这两行可略去。

/×

℃-1

67.2

13.0

4.0

1.0

3.6

9.6

7.8

28.1

——

例2 根据转动惯量的测定实验数据，评定下圆盘转动惯量的不确定度

解：本实验内容较多，这里只评定下圆盘转动惯量的不确定度，与其无关的内容做了删减。

1、实验数据记录

表2.2-3 下圆盘转动惯量测量数据记录表

直接测量结果

20个周期

20T/s

上盘悬孔

间距a/cm

下盘悬孔

间距b/cm

说明

1

28.468

6.50

12.50

毫秒计不估读，钢直尺估读到0.5mm。20T作为中间结果可多保留一位，其它两个量下一位时0可不多保留。

2

28.471

6.55

12.40

3

28.456

6.50

12.40

4

28.492

6.55

12.35

5

28.472

6.50

12.50

平均

28.4718

6.52

12.43

uA

0．0058

0.013

0.03

A类不确定度根据式（1.3-2）。

uB

0．001

0.1

0.1

不类不确定度取最小分度值。

u

0．0059

0.11

0.11

总不确定度根据式（1.3-7）。

中间结果

1.4236

3.764

7.176

中间结果多保留一位。

u

0.00030

0.059

0.061

传递公式按表1.3-3内容，对中间结果多保留一位，只进不舍。

表2.2-4 单次长度测量与给定质量记录表

物理量

上、下圆盘间距

H/cm

下圆盘质量m0/g

说明

测量值

50.50

467

单次测量只有B类不确定度，取仪器分度值，按式（1.3-6）

不确定度u

0.1

1

2、不确定度的评定（方括号中的内容为对过程的解释说明）

（1）计算下圆盘的转动惯量

[暂时多保留，再根据不确定度截断]

（2）根据式（1.3-10）可得，转动惯量I0的相对不确定度

[中间结果多保留一位，只进不舍。注意计算时将所有数据的单位换算成国际标准单位。]

不确定度

[只保留一位有效数字，只进不舍]

（3）实验结果：

[根据不确定度截断，科学计数法表示]

相对不确定度：

[保留二位有效数字，无特殊说明时默认为标准不确定度，括号中的置信概率可以省略]

第三章 物理实验的基本方法

测量是物理实验的主要内容之一。一套巧妙、成熟的的测量方法往往是一代或者几代科学家和实验工作者智慧的结晶，方法本身使我们更加容易、准确地获得测量值，而测量方法的发明和完善过程更给我们以启迪，值得我们学习和借鉴。

测量方法的分类有许多种。按被测量取得方法来划分，有直接测量法、间接测量法和组合测量法；按测量过程是否随时间变化来划分，可分为静态测量法和动态测量法；按测量数据是否通过对基本量的测量而得到，可分为绝对测量和相对测量；按测量技术来分，可分为比较法、放大法、模拟法、平衡法、补偿法、转换法、干涉衍射法等等。本节只对按测量技术分类的几种方法作概括介绍。

3.1比较测量法

比较测量法是将待测物理量与已知的该物理量的标准量具（仪器）进行比较，测出其量值的方法。比较法是最普遍、最基本、最常用的测量方法，任何测量过程实际上都是种比较的过程。根据测量过程中是否对物理量进行了转换，比较法可分为直接比较法和间接比较法两种。

一、直接比较法

直接比较法是将待测物理量与一个经过校准的属于同类物理量的标准量具直接进行比较进而得出测量值的方法，它所测量的物理量一般为基本量。例如，用米尺、游标尺和螺旋测微计测量长度；用秒表和数字毫秒计测量时间；用伏特表测量电压等。仪表刻度预先用标准量仪进行分度和校准，在测量过程中，除了将其指示值乘以测量仪器的常数或倍率外，无需作附加的操作或计算。由于测量过程简单方便，在物理量测量中的应用较广泛。

直接比较法具有以下特点：

（1）同量纲：被测量与标准量的量纲相同。

（2）同时性：被测量与标准量是同时发生的，没有时间的超前或滞后。

（3）直接可比：被测量与标准量直接比较而得到被测量的值。

二、间接比较法

当待测物理量难以与标准量直接比较时，可以通过物理量之间的函数关系，将该量与标准量进行间接比较，从而测出其大小，这就是间接比较法。例如：利用李萨如图形测信号频率等。

3.2放大测量法

物理实验中经常会遇到一些微小的物理量，这些量无法被实验者或仪器直接感觉和反应，或者直接用给定的仪器测量会造成很大的误差。这时可以设计相应的装置或采用相应的手段将待测量放大后再进行测量，即放大法法。常用的放大法有累积放大法、机械放大法、电学放大法和光学放大法等。

一、累积放大法

很多物理量若进行单次测量可能会产生较大的误差，如测量纸张的厚度、单摆或三线摆的周期、等厚干涉相邻条纹的间距等，此时可用累积放大法进行测量。累积放大法也称累计放大法或叠加放大法，是对于某些可简单重叠的物理量进行展延若干倍后再进行测量然后取平均值的方法。以用秒测量三线摆的周期为例，人操作秒表的平均反应时间为△T＝0.2s，假设单摆的周期为T=2.0s，则单次测量周期的相对误差为△T/T＝10%；但是，如果将测量单摆的周期改为测量50次，那么因人的反应时间而引入的相对误差会降低到△T/(50T）＝0.2%。累积放大法的优点是对被测物理量进行简单重叠，不改变测量性质但可以明显减小测量的相对误差，增加测量结果的有效数字位数。

二、机械放大法

利用机械部件之间的几何关系，使标准单位量在测量过程中得到放大的方法称为机械放大法。游标卡尺与螺旋测微计、都是利用机械放大法进行精密测量的典型例子，另外迈克尔逊干涉仪、读数显微镜的机械部分也属此类。以螺旋测微计为例，套在螺杆上的微分筒被分成50格，微分筒每转动一圈，螺杆移动0.5mm。每转动一格，螺杆移动0.01mm。如果微分筒的周长为50mm，微分筒上每一格的弧长相当于1mm，这相当于螺杆移动0.01mm时，在微分筒上却变化了1mm，即放大了100倍。物理天平也是机械放大法的典型例子，设想如果没有指针而靠眼睛判断天平的横梁的水平是很困难的，而通过一个固定于横梁且与横梁垂直的长指针，就可以将横梁微小的倾斜放大为较大的可精确观测的长度量。

三、光学放大法

光学放大法可分为视角放大和微小变化量放大两种。

（1）视角放大

由于人眼分辨率的限制，当视角小于某一量值时，人眼将不能分辨物体的细节，只有借助放大镜、显微镜、望远镜等光学放大仪器才能分辨细节。这类仪器只是在观察时放大了视角，没有把待测量的实际尺寸进行放大，因此测量时不会增加误差。许多精密仪器为了提高测量的精度，一般都会在仪器的读数装置上安装一个视角放大器。例如：光学仪器中的测微目镜、读数显微镜等，实际上是机械放大与光学视角放大的组合仪器。

（2）微小变化量放大

这种方法的主要形式是光杠杆，其原理是应用光的反射定律，把变化角度成倍放大，并利用光线构成一个很长的指针来指示长度的改变。光杠杆的应用详见金属杨氏模量的测定和固体线膨胀系数的测定两个实验。

四、电学放大法

电学量的放大是物理实验中最常用的技术之一，包括电压放大、电流放大、功率放大等。三极管能够实现对微小电流的放大，示波器中也包含了电压放大电路。

由于电学量放大技术成熟且易于实现，所以也常将其他非电量转换为电量放大后再进行测量。如在光电效应实验中，就是将微弱的光信号先转换为电信号再放大后进行测量。声速测量实验中接收超声波的压电换能器是将声波的压力信号先转换为电信号，再放大进行测量。但是，对电信号放大通常会伴随着对噪声的等效放大，对信噪比没有改善甚至会有所降低。因此电信号放大技术通常是与提高信号信噪比技术结合使用。

3.3模拟测量法

模拟法是依据相似性理论，对一些特殊的研究对象（如难于观测、过于庞大或微小、十分危险或缓慢）人为地制造类似的模型来进行实验。模拟法能方便地再现自然现象，将抽象的理论具体化，还可以进行单因素或多因素的交叉实验，可加速或减缓物理过程。利用模拟法可以节省时间和物力，提高实验效率，达到实际测量无法达到的效果。

模拟法有物理模拟、数学模拟和计算机模拟三类。

一、物理模拟法

物理模拟法是指在模拟的过程中保持物理本质不变，人为制造的“模型”与原型的物理过程和几何形状相同或相似的模拟方法。例如，对河流，水坝，建筑群体的模拟，研究飞行器的风洞实验等。

二、数学模拟法

数学模拟是指模型和原型在物理实质方面可以完全不同，但它们却遵循相同的数学规律，通过研究模型可得到与原型类似性质的方法。静电场的描绘一般采用典型的数学模拟法，是用稳定电流场来模拟静电场。

三、计算机模拟法

计算机模拟法是通过一系列观察和推理，用计算机建立实验模型，来模拟实验的操作、测量和数据处理过程。这种方法形象逼真，直观性强，等同真实实验的效果。这种方法不但节约实验器材，而且效率更高，并能解除进行某些真实实验所具有的危险性和不可能性，如原子核试验和对宇航员进行的模拟外太空环境的试验等。随着计算机的迅速发展和广泛使用，计算机模拟已发展成为物理学的一个分支——计算物理学。

3.3平衡测量法

平衡法是利用物理学中平衡态的概念，将处于比较的物理量之间的差异逐步减小到零的状态，判断测量系统是否达到平衡态来实现测量。在平衡法中，并不研究被测物理量本身，而是与一个已知物理量或相对参考量进行比较，当两物理量差值为零时，用已知量或相对参考量描述待测物理量。利用平衡法，可将许多复杂的物理现象用简单的形式来描述，可以使一些复杂的物理关系简明化。平衡法应用如利用等臂物理天平称物理质量，是当天平达到力矩平衡时，待测物体的质量和作为参考量的砝码的质量相等；用于测电阻的惠斯登电桥是一种典型的桥式电路，桥式电路是根据电流、电压等电学量之间的平衡原理而专门设计出的电路，可用来测量电阻、电感、介电常数、磁导率等电磁学参数。

3.5补偿测量法

补偿法就是在测量中，通过一个标准的物理量产生与待测物理量等量或相同的效应，用于补偿（或抵消）待测物理量的作用，使测量系统处于平衡状态，从而得到待测量与标准量之间的确定关系。补偿法通常与平衡法、比较法结合使用。根据作用来划分，补偿法分为补偿法测量和补偿法消除系统误差两个方面。

一、补偿法测量

补偿测量系统通常包含补偿装置和指零装置两部分。补偿装置产生补偿效应，并获得设计规定的测量精度。指零装置是一个比较系统，用于显示待测量与补偿量的比较结果。电位差计就是利用电压补偿原理测量电压的，详见用电位差计测电动势实验。

二、补偿法消除系统误差

在测量中由于各种条件的限制，有些系统误差无法消除。利用补偿法引入相同的效应来补偿那些无法消除的系统误差，是补偿法的主要应用。迈克耳逊干涉仪上的补偿板，就是为了补偿光在分束镜上引入的光程差。

3.6转换测量法

能量守恒及相互转换规律在自然界学中普遍存在，转换法就是依据这些规律，将某些因条件所限无法直接用仪器测量或者无法达到测量精度要求的物理量，转换成为另一种形式的物理量进行测量的方法。转换法通常分为参量转换和能量转换两类。

一、参量转换法

参量转换法是利用各种参量的变换及其变化的定量函数关系，来间接测量某一物理量的方法。间接比较法一般都属此类，如温液体度计就是利用测温物质的体积与温度的线性关系，将温度转换为长度来进行测量。众所周知的曹冲称象，实际上是把不可直接测量的大象的重量转换为可测的石块的重量。

二、能量转换法

能量转换法是将某种形式的物理量，通过能量转换装置，转换为另一种与之存在特定函数关系的物理量来进行测量和计算的方法。用作能量转换的器件称为传感器，随着各种新型功能材料的问世，传感器的应用范围越来越广。但由于电学量具有应用面广、测量方便和仪表的通用性强易于生产等优点，实验中多是将其它形式的物理量转换成电学量来测量和计算，下面简单介绍本教材中涉及到的几种。

（1）光电转换：通过光电池、光电倍增管或CCD等将光能转换成电能，如硅光电池、光谱仪、单缝衍射等实验。

（2）压电转换：通过压电陶瓷等压电换能器将机械能转换为电能，如声速测量实验中用到的超声换能器是把声波转换成电信号。

（3）热电转换：利用热电偶、热敏电阻等将热能转换为电能，如万用表、导热系数测定仪的测温功能就是通过热电偶实现的。

3.7干涉、衍射测量法

由于光的波长短，通过干涉或衍射图案，能够观测被测物体的微小位移或线度，所以干涉、衍射法常用于测量微小长度的精密测量实验中。

根据等厚干涉的原理，可以用牛顿环干涉测量透镜的曲率半径，可以用劈尖干涉测量微小夹角，可以根据条纹的变形来检测表面的平整度；观测迈克尔逊干涉仪的干涉条纹，可精确地测定光的波长、透明介质的折射率、薄膜的厚度、微小的位移等等物理量。衍射法主要应用于对微小物体和晶格常数的测量，如单缝衍射法测细丝直径，微波布拉格衍射实验等。

习题

1.物理量的测量值、公认值和真值三者之间有何区别与联系？

2.测量结果的误差、偏差和不确定度三者之间有何区别与联系？

3.判断下列情况各属于哪类误差：

（1）钢尺因降温而收缩；

（2）游标卡尺零点计数不准；

（3）水银温度计毛细管不均匀；

（4）天平零点不准；

（5）检流计零点漂移；

（6）电表的接入误差；

（7）电压起伏引进的电表读数波动；

（8）用毫秒计测三线摆周期时，由于圆盘的摆荡造成挡光杆不完全挡光周期数加倍。

4.直接测量的有效数字位数由哪些因素决定？

5.若某物理量测量不确定度的A类分量明显大于B类分量，说明什么问题？如果情况相反又说明什么问题？针对两种情况我们应该采取怎样的措施？

6.指出下列各量有几位有效数字：

（1）9.80 （2）0.0002 （3）1.0004 （4）2.40×10-9（5）3.14159

7.五位同学用同50分度的游标卡尺测量一圆柱的直径，每人测一次，请判断下列读数的正误：

（1）6.800cm （2）6.805cm （3）6.801cm （4）6.8002cm （5）6.80cm

8.试比较下列测值的优劣：

（1）9.768±0.002cm （2）9.7681±0.0004cm （3）9.76±0.05cm

9.根据有效数字运算规则计算下列实验数据最终结果（要求写出详细计算过程）：

（1）46.703＋1.2 （2）12.966×2.00 （3）27.658÷0.03 （4）6.732·π

10.试推导下列间接测量量的不确定度传递公式

（1）

（2）

11.光电效应实验测定截止电压与入射光频率关系数据如下表：

波长λ/nm

365

405

436

546

577

频率ν/×1014Hz

8.214

7.408

6.879

5.490

5.196

截止电压|Ua| /V

1.826

1.358

1.202

0.609

0.568

试根据表中数据分别用最小作图法和最小二乘法求普朗克常数（计算公式参见光电效应实验）。